Varney kwam uit een gezin van vijf kinderen. Hij trouwde op 1 oktober1939 en ze kregen één dochter. Varney had twee kleinkinderen. Zijn vrouw Lily overleed in 2002.
Hij is wereldberoemd geworden met zijn rol als Stan Butler in de televisieserie On the Buses, die in Nederland op het scherm kwam onder de naam Dubbeldekkers. Tevens speelde hij Stan in drie op de serie gebaseerde films. In Engeland was hij ook een bekend toneelacteur, die in de late jaren 40 doorbrak. Een bekend stuk uit die tijd is Gaytime, waarin onder andere ook Benny Hill verscheen. Ook was hij een getalenteerd pianist.
Varney had een villa op Malta en een huis in een klein dorpje nabij het Engelse Dartmouth. Varney is 92 geworden en stierf nadat hij enkele weken voordien door een borstontsteking was opgenomen in een rusthuis.
Op 27 juni1967 werd de eerste geldautomaat ter wereld geopend in Enfield, Noord-Londen. Om publiciteitsredenen was Varney gevraagd om de eerste geldopname te doen.
Varney haalde speciaal voor On the Buses zijn busrijbewijs, zodat hij de bus ook in buitenscènes zelf kon besturen.