Constante de Mills

Na teoria dos números, a constante de Mills é definida como o menor real positivo A tal que a função piso da dupla exponencial: 

${\displaystyle \lfloor A^{3^{n}}\rfloor }$

é um número primo para todos os inteiros positivos n. A constante possui este nome em homenagem a William H. Mills, que provou em 1947 a existência de A, baseado em resultados de Guido Hoheisel e Albert Ingham sobre intervalos entre primos consecutivos. Seu valor é desconhecido, mas se a hipótese de Riemann for verdadeira, seu valor é de aproximadamente 1.3063778838630806904686144926... (sequência A051021 na OEIS)^[1].

Primos de Mills

Os primos gerados pela constante de Mills são conhecidos como Primos de Mills^[2]. Se a hipótese de Riemann for verdadeira, seus primeiros termos são:

2, 11, 1361, 2521008887, 16022236204009818131831320183, 4113101149215104800030529537915953170486139623539759933135949994882770404074832568499, ... (sequencia A051254 na OEIS).

Atualmente, o maior primo de Mills conhecido (sob a hipótese de Riemann) é:

${\displaystyle \displaystyle (((((((((2^{3}+3)^{3}+30)^{3}+6)^{3}+80)^{3}+12)^{3}+450)^{3}+894)^{3}+3636)^{3}+70756)^{3}+97220,}$

com um comprimento de 20562 dígitos.

Sketch da Prova

Dada uma sequência ${\displaystyle a_{1},a_{2},...}$ de inteiros positivos, provaremos que basta que ${\displaystyle a_{n}^{3}<a_{n+1}<(a_{n}+1)^{3}}$ para que exista A tal que ${\displaystyle \lfloor A^{3^{n}}\rfloor =a_{n}}$ para todo n.

Para isso, considere a sequência de intervalos ${\displaystyle I_{1},I_{2},...}$ onde ${\displaystyle I_{n}=[a_{n}^{1/3^{n}},(a_{n}+1)^{1/3^{n}}]}$. A condição ${\displaystyle a_{n}^{3}<a_{n+1}<(a_{n}+1)^{3}}$ implica que ${\displaystyle I_{1}\supset I_{2}\supset ...}$. Segue, portanto, do teorema dos intervalos encaixantes, que existe um número real A que está em todos estes intervalos. Esse número satisfaz o desejado, pois ${\displaystyle A\in I_{n}\Rightarrow a_{n}<A^{3^{n}}<a_{n}+1\Rightarrow \lfloor A^{3^{n}}\rfloor =a_{n}}$.

Portanto para provar a existência da constante de Mills, basta provar que existe uma sequência de primos ${\displaystyle a_{1},a_{2},...}$ tais que ${\displaystyle a_{n}^{3}<a_{n+1}<(a_{n}+1)^{3}}$ para todo n. A existência desta sequência segue, por exemplo, de um resultado de Cheng^[3], que implica que há ao menos um primo entre n^3 e (n+1)^3 para todo n suficientemente grande. Se assumirmos a hipótese de Riemann, temos ainda que existe tal sequência de primos com ${\displaystyle a_{1}=2}$, e que que gera o real A minimal pode ser obtida recursivamente, tomando-se ${\displaystyle a_{n+1}}$ como o menor primo maior que ${\displaystyle a_{n}^{3}}$.

Cálculo Numérico

Calculando-se a sequência dos primos de Mills, pode-se aproximar a constante de Mills como:

${\displaystyle A\approx a_{n}^{1/3^{n}}.}$

Caldwell e Cheng (2005)^[4] usaram este método para calcular quase 7 mil dígitos da constante na base 10, assumindo a hipótese de Riemann. Não se conhece uma fórmula fechada para esta constante, e nem se sabe se é um número racional^[5].

Referências

1. «Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem». Jounal of Integer Sequences, Vol. 8 (2005)  line feed character character in |titulo= at position 42 (ajuda)
2. «Mill's Constant» 
3. «Explicit Estimate on Primes Between Consecutive Cubes». Rocky Mt. J. Math. 40 
4. «Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem» 
5. Finch, Steven R (2003). Mathematical Constants. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 130-133. ISBN 0-521-81805-2