Tabela de senos de Mādhava

A Tabela de senos de Mādhava é uma tabela contendo o valor dos senos trigonométricos de vários ângulos construída no Século XIV pelo matemático e astrônomo Mādhava de Sangamagrama. A tabela lista os senos trigonométricos dos vinte e quatro ângulos que são múltiplos inteiros de 3,75°, ou seja, 1/24 de um ângulo reto, começando com 3,75 e terminando com 90,00 (ou seja, 3,75°, 7,50°, 11,25°, ... e 90,00°). A tabela usa a Codificação de caracteres do alfassilabário Devanāgarī usando o sistema Katapayadi. Isso dá às entradas na tabela uma aparência do versos de um poema em sânscrito.

O trabalho original de Mādhava de Sangamagrama contendo a tabela senoidal ainda não foi rastreado. A tabela é vista reproduzida no Aryabhatiyabhashya de Nilakantha Somayaji^[1] (1444-1544) e também no comentário Yuktidipika/Laghuvivrti de Tantrasamgraha por Sankara Variar^[2] (cerca de 1500-1560).

Comparação dos valores de senos modernos com os de Mādhava

Na tabela abaixo, a primeira coluna contém a lista dos vinte e quatro ângulos que são múltiplos inteiros de 3,75° (começando com 3,75° e terminando com 90,00°). A segunda coluna contém os valores tabulados por Mādhava em Devanagari na forma em que foi dado por Mādhava. (Estes são retirados do "Malayalam Commentary of Karanapaddhati" por PK Koru^[3] e são ligeiramente diferentes da tabela dada em "Cultural foundations of mathematics" por CK Raju^[2].) A terceira coluna contém transliterações ISO 15919 das linhas dadas na segunda coluna. Os dígitos codificados pelas linhas na segunda coluna são dados em algarismos arábicos na quarta coluna. Os valores dos senos trigonométricos derivados dos números especificados na tabela de Mādhava estão listados na quinta coluna. Esses valores são calculados usando o valor aproximado 3,1415926535922 para π obtido por Mādhava. Para comparação, os valores exatos dos senos trigonométricos dos ângulos são dados na sexta coluna.

Ângulo A em graus	Os números de Mādhava para especificar o seno de A			Valor do seno de A derivado da tabela de Mādhava	Valores modernos de seno de A
Ângulo A em graus	no script Devanāgarī usando o Sistema Katapayadi (como na tabela original de Madhava )	no esquema de transliteração ISO 15919	Valores decodificados em minutos, segundos, terços	Valor do seno de A derivado da tabela de Mādhava	Valores modernos de seno de A
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)
03.75	श्रेष्ठं नाम वरिष्ठानां	śreṣṭhaṁ nāma variṣṭhānāṁ	224ʹ 50ʹʹ 22ʹʹʹ	0.06540314	0.06540313
07.50	हिमाद्रिर्वेदभावनः	himādrirvēdabhāvanaḥ	448ʹ 42ʹʹ 58ʹʹʹ	0.13052623	0.13052619
11.25	तपनो भानु सूक्तज्ञो	tapanō bhānu sūktajñō	670ʹ 40ʹʹ 16ʹʹʹ	0.19509032	0.19509032
15.00	मध्यमं विद्धि दोहनं	maddhyamaṁ viddhi dōhanaṁ	889ʹ 45ʹʹ 15ʹʹʹ	0.25881900	0.25881905
18.75	धिगाज्यो नाशनं कष्टं	dhigājyō nāśanaṁ kaṣṭaṁ	1105ʹ 01ʹʹ 39ʹʹʹ	0.32143947	0.32143947
22.50	छन्नभोगाशयाम्बिका	channabhōgāśayāmbikā	1315ʹ 34ʹʹ 07ʹʹʹ	0.38268340	0.38268343
26.25	मृगाहारो नरेशोयं	mr̥gāhārō narēśōyaṁ	1520ʹ 28ʹʹ 35ʹʹʹ	0.44228865	0.44228869
30.00	वीरो रणजयोत्सुकः	vīrō raṇajayōtsukaḥ	1718ʹ 52ʹʹ 24ʹʹʹ	0.49999998	0.50000000
33.75	मूलं विशुद्धं नाळस्य	mūlaṁ viśuddhaṁ nāḷasya	1909ʹ 54ʹʹ 35ʹʹʹ	0.55557022	0.55557023
37.50	गानेषु विरळा नराः	gāneṣu viraḷā narāḥ	2092ʹ 46ʹʹ 03ʹʹʹ	0.60876139	0.60876143
41.25	अशुद्धिगुप्ता चोरश्रीः	aśuddhiguptā cōraśrīḥ	2266ʹ 39ʹʹ 50ʹʹʹ	0.65934580	0.65934582
45.00	शङ्कुकर्णो नगेश्वरः	śaṅkukarṇō nageśvaraḥ	2430ʹ 51ʹʹ 15ʹʹʹ	0.70710681	0.70710678
48.75	तनुजो गर्भजो मित्रं	tanujō garbhajō mitraṃ	2584ʹ 38ʹʹ 06ʹʹʹ	0.75183985	0.75183981
52.50	श्रीमानत्र सुखी सखे	śrīmānatra sukhī sakhē	2727ʹ 20ʹʹ 52ʹʹʹ	0.79335331	0.79335334
56.25	शशी रात्रौ हिमाहारौ	śaśī rātrou himāhārou	2858ʹ 22ʹʹ 55ʹʹʹ	0.83146960	0.83146961
60.00	वेगज्ञः पथि सिन्धुरः	vēgajñaḥ pathi sindhuraḥ	2977ʹ 10ʹʹ 34ʹʹʹ	0.86602543	0.86602540
63.25	छाया लयो गजो नीलो	chāya layō gajō nīlō	3083ʹ 13ʹʹ 17ʹʹʹ	0.89687275	0.89687274
67.50	निर्मलो नास्ति सत्कुले	nirmalō nāsti satkulē	3176ʹ 03ʹʹ 50ʹʹʹ	0.92387954	0.92387953
71.25	रात्रौ दर्पणमभ्राङ्गं	rātrou darpaṇamabhrāṅgaṁ	3255ʹ 18ʹʹ 22ʹʹʹ	0.94693016	0.94693013
75.00	नागस्तुङ्ग नखो बली	nāgastuṅga nakhō balī	3320ʹ 36ʹʹ 30ʹʹʹ	0.96592581	0.96592583
78.75	धीरो युवा कथालोलः	dhīrō yuvā kathālōlaḥ	3371ʹ 41ʹʹ 29ʹʹʹ	0.98078527	0.98078528
82.50	पूज्यो नारीजनैर्भगः	pūjyō nārījanairbhagaḥ	3408ʹ 20ʹʹ 11ʹʹʹ	0.99144487	0.99144486
86.25	कन्यागारे नागवल्ली	kanyāgārē nāgavallī	3430ʹ 23ʹʹ 11ʹʹʹ	0.99785895	0.99785892
90.00	देवो विश्वस्थली भृगुः	devō viśvasthalī bhr̥ guḥ	3437ʹ 44ʹʹ 48ʹʹʹ	0.99999997	1.00000000

Método de computação de Mādhava

Nenhum trabalho de Mādhava detalhando os métodos usados por ele para o cálculo da tabela de senos sobreviveu. No entanto, a partir dos escritos de matemáticos posteriores de Kerala, como Nilakantha Somayaji (Tantrasangraha) e Jyeshtadeva (Yuktibhāṣā), que dão amplas referências às realizações de Mādhava, conjectura-se que Mādhava calculou sua tabela de senos usando a expansão em série de potência de seno x .

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots

Referências

↑ The Aryabhatiam of Aryabhattacharya with the Bhashya of Nilakantha Somasutvan, Part1-Gaṇitapāda, Edited by K. Sambasiva Sastri, Trivandrum Sanskrit Series No.101. p. 55. https://archive.org/details/Trivandrum_Sanskrit_Series_TSS http://www.sanskritebooks.org/2013/02/trivandrum-sanskrit-series-anantasayana-samskrita-granthavali/
↑ ^a ^b C.K. Raju (2007). Cultural foundations of mathematics: The nature of mathematical proof and the transmission of calculus from India to Europe in the 16 thc. CE. Col: History of Philosophy, Science and Culture in Indian Civilization. X Part 4. Delhi: Centre for Studies in Civilizations. pp. 114–123
↑ Puthumana Somayaji. Karanapaddhati (with a commentary in Malayalam by P.K. Koru). Cherpu, Kerala, India: Astro Printing and Publishing Company (Published in 1953)

[:0-1] The Aryabhatiam of Aryabhattacharya with the Bhashya of Nilakantha Somasutvan, Part1-Gaṇitapāda, Edited by K. Sambasiva Sastri, Trivandrum Sanskrit Series No.101. p. 55. https://archive.org/details/Trivandrum_Sanskrit_Series_TSS http://www.sanskritebooks.org/2013/02/trivandrum-sanskrit-series-anantasayana-samskrita-granthavali/

[Raju-2] C.K. Raju (2007). Cultural foundations of mathematics: The nature of mathematical proof and the transmission of calculus from India to Europe in the 16 thc. CE. Col: History of Philosophy, Science and Culture in Indian Civilization. X Part 4. Delhi: Centre for Studies in Civilizations. pp. 114–123

[3] Puthumana Somayaji. Karanapaddhati (with a commentary in Malayalam by P.K. Koru). Cherpu, Kerala, India: Astro Printing and Publishing Company (Published in 1953)

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