Народився 27 грудня1984 року в Климовську Московської області. Після 9-го класу школи вступив на навчання до сільськогосподарського училища Коломни, але через два роки покинув його, вирішивши стати актором. Вступив до Театрального училища імені Щукіна на курс Юрія Шликова . У 2006 році відразу після отримання диплома прийнятий в трупу Театру імені Вахтангова, був введений у багато вистав поточного репертуару. Першою великою роллю став Троїл у постановці Рімаса Тумінаса за трагедією ВільямаШекспіра «Троїл і Крессіда».
Першу помітну роль в кіно Леонід Бічевін зіграв у картині Олексія Балабанова «Вантаж 200» (2007). На знімальному майданчику фільму молодий актор опинився завдяки рекомендації Агнії Кузнєцової, з якою разом навчався в Щукінському училищі[1]. У наступному фільмі Балабанова «Морфій» (2008) по ранній прозі МихайлаБулгакова Бічевін виконав головну роль — працюючого в сільській лікарні молодого лікаря морфініста. В одному з інтерв'ю Балабанов висловив думку, що Леонід Бічевін «буде зіркою»[2].
Зустрічався з однокурсницею по театральному інституту — актрисою Агнією Кузнєцовоїю[3].
29 липня 2011 року одружився з акторкою Марією Бердинських[4], з якою познайомився під час зйомок фільму «Горобиновий вальс». У вересні 2014 року у пари народився син, Іван Леонідович Бічевін. У 2019 році народився другий син Леоніда та Марії — Степан Леонідович Бічевін.
2009 — Номінація премії " Жорж " у категорії «Найкращий російський актор»
2009 — Лауреат Призу імені Олександра Абдулова 8-го міжнародного фестивалю кінематографічних дебютів «Дух вогню» — за роль у фільмі « Горобиновий вальс»
2009 — Премія Міжнародного кінофестивалю «У родинному колі» в номінації «Найкраща акторська робота (чоловіча роль)» — за роль у фільмі " Горобиновий вальс "