友誼數

未解決的數學問題：存在無限多個正整數，其因數函數除以自身的比值均相等嗎？

在數論中，友誼數是指二個正整數m和n滿足σ(m)/m = σ(n)/n的關係，其中σ(n)是因數函數，則稱它們是朋友，此二個整數互為友誼數。

例如(1+2+4+5+8+10+16+20+40+80)/80 = (1+2+4+5+8+10+20+25+40+50+100+200)/200 = 93/40，因此80和200都是友誼數。

友誼數為传递关系，若m和n為友誼數，n和p為友誼數，則m和p必為友誼數。

所有的已知的友誼數有6, 12, 24, 28, 30, ...（OEIS A074902，按σ(n)/n相同的組對排列：OEIS A050973、OEIS A050973）

確定不是友誼數的數即為孤獨數。但有些數尚未能證明它是否為孤獨數，例如10。

大的友誼數群

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若三個或三個以上的正整數，其因數函數除以自身的比值相等，則這些正整數形成友誼數群（friendly number club）。換言之，友誼數群是友誼數關係的等價類。目前還不知道是否有由無限多個正整數組成的友誼數群。完全數的因數函數為自身的2倍，因此所有完全數形成一個友誼數群，推測應該會有無限多個完全數（至少會和梅森質數的個數一樣多），但尚未被證明。

孤獨數

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未解決的數學問題：10是孤獨數嗎？

不與其他數組成友誼數對的正整數稱為孤獨數（solitary number）。

所有滿足( n, σ(n) ) = 1的n（OEIS A014567）都是孤獨數，因此所有質數冪都是孤獨數。n, σ(n)非互質的孤獨數已知有18, 45, 48, ... （OEIS A095739）。10, 14, 15, 20等數未能證明它是否孤獨數。