配对堆

配对堆
类型	堆積
发明时间	1986年
发明者	邁克爾·弗雷德曼、罗伯特·塞奇威克、丹尼爾·斯萊托、羅伯特·塔揚
用大O符号表示的时间复杂度
算法 平均 最差 插入 ${\displaystyle \Theta (1)}$ 寻找最小值 ${\displaystyle \Theta (1)}$   删除最小值 ${\displaystyle O(\log n)}$   减小键值 ${\displaystyle O(\log n)}$ 合并 ${\displaystyle \Theta (1)}$

配对堆（英語：Pairing heap）是一种实现简单、均摊复杂度优越的堆数据结构，由邁克爾·弗雷德曼、罗伯特·塞奇威克、丹尼爾·斯萊托、羅伯特·塔揚于1986年发明。^[1] 配对堆是一种多叉树，并且可以被认为是一种简化的斐波那契堆。对于实现例如普林姆最小生成树算法等算法，配对堆是一个更优的选择^[2]，且支持以下操作（假设该堆是最小堆）：

• find-min（查找最小值）：返回堆顶。
• merge（合并）：比较两个堆顶，将堆顶较大的堆设为另一个的孩子。
• insert（插入）：创建一个只有一个元素的堆，并合并至原堆中。
• decrease-key（减小元素）（可选）：将以该节点为根的子树移除，减小其权值，并合并回去。
• delete-min（删除最小值）：删除根并将其子树合并至一起。这里有各种不同的方式。

配对堆时间复杂度的分析灵感来源于伸展树。^[1] 其delete-min操作的时间复杂度为O(log n)，而find-min、merge和insert操作的均摊时间复杂度均为O(1)。^[3]

确定配对堆每次进行decrease-key操作的均摊时间复杂度是困难的。最初，基于经验，这个操作的时间复杂度被推测为是O(1)，^[4]但弗雷德曼证明了对于某些操作序列，每次decrease-key操作的时间复杂度至少为${\displaystyle \Omega (\log \log n)}$。^[5] 在那之后，通过不同的均摊依据，Pettie证明了insert、merge及decrease-key操作的均摊时间复杂度均为${\displaystyle O(2^{2{\sqrt {\log \log n}}})}$，近似于${\displaystyle o(\log n)}$。^[6] Elmasry后来介绍了一种配对堆的变体，令其拥有所有斐波那契堆可以实现的操作，且decrease-key操作的均摊时间复杂度为${\displaystyle O(\log \log n)}$，^[7]但对于原始的数据结构，仍未知准确的${\displaystyle \Theta (\log \log n)}$运行下限。^[6][3]此外，能否使delete-min在均摊时间复杂度为${\displaystyle o(\log n)}$的同时，令insert操作的均摊时间复杂度为${\displaystyle O(1)}$，目前也仍未得到解决。^[8]

尽管这比其他的，例如能实现均摊时间${\displaystyle O(1)}$的decrease-key的斐波那契堆，这样的优先队列算法更差，在实践中配对堆的表现仍然很不错。Stasko和Vitter，^[4] Moret和Shapiro，^[9] 以及Larkin、Sen和Tarjan^[8] 进行过配对堆和其他堆数据结构的实验。 他们得出的结论是, 配对堆通常比基于数组的二叉堆和D叉堆的实际操作速度更快，而且在实践中几乎总是比其他基于指针的堆更快，其中包括诸如斐波纳契堆这样的理论上更有效率的数据结构。

结构

一个配对堆要么是一个空堆，要么就是一个配对树，由一个根元素与一个可能为空的配对树列表所组成。堆的有序属性使该列表中所有子树的根元素都不小于该堆的根元素。下面描述了一个纯粹的函数堆，我们假定它不支持decrease-key操作。

type PairingTree[Elem] = Heap(elem: Elem, subheaps: List[PairingTree[Elem]])
type PairingHeap[Elem] = Empty | PairingTree[Elem]

对于随机存取机，一个基于指针的实现若要支持decrease-key操作，可以对每个节点使用三个指针做到，具体做法是用单向链表储存节点的孩子：一个指针指向该节点的第一个孩子，一个指向它的下个兄弟，一个指向它的上个兄弟（对于最左边的兄弟则指向它的父亲）。或者，如果使用一个布尔标记表示“链表末尾”且令最后一个孩子指向它的父亲，指向上个兄弟的指针也可以不使用。这在牺牲常数开销的同时，令结构更加紧凑。^[1]

操作

find-min（查找最小值）

函数find-min简单地返回该堆的堆顶：

function find-min(heap: PairingHeap[Elem]) -> Elem
  if heap is Empty
    error
  else
    return heap.elem

merge（合并）

合并一个空堆将会返回另一个堆，否则将会返回一个新堆，其将两个堆的根元素中较小的元素当作新堆的根元素，并将较大的元素所在的堆合并到新堆的子堆中：

function merge(heap1, heap2: PairingHeap[Elem]) -> PairingHeap[Elem]
  if heap1 is Empty
    return heap2
  elsif heap2 is Empty
    return heap1
  elsif heap1.elem < heap2.elem
    return Heap(heap1.elem, heap2 :: heap1.subheaps)
  else
    return Heap(heap2.elem, heap1 :: heap2.subheaps)

insert（插入）

插入一个元素最简单的方法是，将一个仅有该元素的新堆与需要被插入的堆合并：

function insert(elem: Elem, heap: PairingHeap[Elem]) -> PairingHeap[Elem]
  return merge(Heap(elem, []), heap)

delete-min（删除最小值）

唯一比较复杂的操作即是堆中最小值的删除操作。标准方法是：首先将子堆从左到右、一对一对地合并（这就是它叫这个名字的原因），然后再从右到左合并该堆。

function delete-min(heap: PairingHeap[Elem]) -> PairingHeap[Elem]
  if heap is Empty
    error
  else
    return merge-pairs(heap.subheaps)

这需要使用到辅助函数merge-pairs（合并对）：

function merge-pairs(list: List[PairingTree[Elem]]) -> PairingHeap[Elem]
  if length(list) == 0
    return Empty
  elsif length(list) == 1
    return list[0]
  else
    return merge(merge(list[0], list[1]), merge-pairs(list[2..]))

这确实实现了所描述的两个通过从左向右、然后从右向左的合并策略。这可以下面的过程看到：

   merge-pairs([H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7])
=> merge(merge(H1, H2), merge-pairs([H3, H4, H5, H6, H7]))
     # 合并H1和H2到H12，再处理列表中剩下的部分
=> merge(H12, merge(merge(H3, H4), merge-pairs([H5, H6, H7])))
     # 合并H3和H4到H34，再处理列表中剩下的部分
=> merge(H12, merge(H34, merge(merge(H5, H6), merge-pairs([H7]))))
     # 合并H5和H6到H56，再处理列表中剩下的部分
=> merge(H12, merge(H34, merge(H56, H7)))
     # 转换方向，合并最后两个堆，给出H567
=> merge(H12, merge(H34, H567))
     # 合并最后两个堆，给出H34567
=> merge(H12, H34567) 
     # 最终，合并第一个堆和剩下堆合并的结果
=> H1234567

运行时间统计

下面的时间复杂度中，^[10]O(f)是一个渐近的上界，而Θ(f)是一个准确的上界（见大O符号）。函数名均假设该堆为最小堆。

操作	二叉[10]	左偏	二项[10]	斐波那契[10][11]	配对[3]	Brodal[12][a]
find-min	Θ(1)	Θ(1)	Θ(log n)	Θ(1)	Θ(1)	Θ(1)
delete-min	Θ(log n)	Θ(log n)	Θ(log n)	O(log n)[b]	O(log n)[b]	O(log n)
insert	O(log n)	Θ(log n)	Θ(1)[b]	Θ(1)	Θ(1)	Θ(1)
decrease-key	Θ(log n)	Θ(n)	Θ(log n)	Θ(1)[b]	o(log n)[b][c]	Θ(1)
merge	Θ(n)	Θ(log n)	O(log n)[d]	Θ(1)	Θ(1)	Θ(1)

1. Brodal和Okasaki后来描述了一个可持久化的变种，拥有同样的运行上界，但不支持decrease-key。 带有n个元素的堆可以在O(n)时间内从下至上构建。^[13]
2. 均摊时间。
3. 下界为${\displaystyle \Omega (\log \log n)}$，^[14]上界为${\displaystyle O(2^{2{\sqrt {\log \log n}}})}$。^[15]
4. n是较大堆的大小。

参考文献

1. Fredman, Michael L.; Sedgewick, Robert; Sleator, Daniel D.; Tarjan, Robert E. The pairing heap: a new form of self-adjusting heap (PDF). Algorithmica. 1986, 1 (1): 111–129 [2018-04-13]. doi:10.1007/BF01840439. （原始内容存档 (PDF)于2021-05-06）. 
2. Mehlhorn, Kurt; Sanders, Peter. Algorithms and Data Structures: The Basic Toolbox (PDF). Springer. 2008: 231 [2018-04-13]. （原始内容存档 (PDF)于2019-12-31）. 
3. Iacono, John, Improved upper bounds for pairing heaps, Proc. 7th Scandinavian Workshop on Algorithm Theory (PDF), Lecture Notes in Computer Science 1851, Springer-Verlag: 63–77, 2000, ISBN 3-540-67690-2, arXiv:1110.4428 , doi:10.1007/3-540-44985-X_5 
4. Stasko, John T.; Vitter, Jeffrey S., Pairing heaps: experiments and analysis (PDF), Communications of the ACM, 1987, 30 (3): 234–249 [2018-05-20], CiteSeerX 10.1.1.106.2988 , doi:10.1145/214748.214759, （原始内容存档 (PDF)于2017-08-29） 
5. Fredman, Michael L. On the efficiency of pairing heaps and related data structures (PDF). Journal of the ACM. 1999, 46 (4): 473–501. doi:10.1145/320211.320214. （原始内容 (PDF)存档于2011年7月21日）. 
6. Pettie, Seth, Towards a final analysis of pairing heaps (PDF), Proc. 46th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science: 174–183, 2005 [2018-05-20], ISBN 0-7695-2468-0, doi:10.1109/SFCS.2005.75, （原始内容存档 (PDF)于2012-01-28） 
7. Elmasry, Amr, Pairing heaps with ${\displaystyle O(\log \log n)}$ decrease cost (PDF), Proc. 20th Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms: 471–476, 2009 [2018-05-20], CiteSeerX 10.1.1.502.6706 , doi:10.1137/1.9781611973068.52, （原始内容存档 (PDF)于2012-10-18） 
8. Larkin, Daniel H.; Sen, Siddhartha; Tarjan, Robert E., A back-to-basics empirical study of priority queues, Proceedings of the 16th Workshop on Algorithm Engineering and Experiments (PDF): 61–72, 2014, CiteSeerX 10.1.1.638.5198 , arXiv:1403.0252 , doi:10.1137/1.9781611973198.7 ^{[永久失效連結]}
9. Moret, Bernard M. E.; Shapiro, Henry D., An empirical analysis of algorithms for constructing a minimum spanning tree, Proc. 2nd Workshop on Algorithms and Data Structures, Lecture Notes in Computer Science 519, Springer-Verlag: 400–411, 1991 [2018-05-20], CiteSeerX 10.1.1.53.5960 , ISBN 3-540-54343-0, doi:10.1007/BFb0028279, （原始内容存档于2018-07-21） 
10. Cormen, Thomas H. （英语：Thomas H. Cormen）; Leiserson, Charles E. （英语：Charles E. Leiserson）; Rivest, Ronald L. Introduction to Algorithms 1st. MIT Press and McGraw-Hill. 1990. ISBN 0-262-03141-8. 
11. Fredman, Michael Lawrence; Tarjan, Robert E. Fibonacci heaps and their uses in improved network optimization algorithms (PDF). Journal of the Association for Computing Machinery. July 1987, 34 (3): 596–615. doi:10.1145/28869.28874. 
12. Brodal, Gerth S., Worst-Case Efficient Priority Queues (PDF), Proc. 7th Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms: 52–58, 1996 
13. Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto. 7.3.6. Bottom-Up Heap Construction. Data Structures and Algorithms in Java 3rd. 2004: 338–341. ISBN 0-471-46983-1. 
14. Fredman, Michael Lawrence. On the Efficiency of Pairing Heaps and Related Data Structures (PDF). Journal of the Association for Computing Machinery. July 1999, 46 (4): 473–501. doi:10.1145/320211.320214. 
15. Pettie, Seth. Towards a Final Analysis of Pairing Heaps (PDF). FOCS '05 Proceedings of the 46th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science: 174–183. 2005. CiteSeerX 10.1.1.549.471 . ISBN 0-7695-2468-0. doi:10.1109/SFCS.2005.75. 

外部链接

• Louis Wasserman discusses pairing heaps and their implementation in Haskell in The Monad Reader, Issue 16 （页面存档备份，存于互联网档案馆） (pp. 37–52).
• pairing heaps （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Sartaj Sahni