Đường tròn của Apollonius

Trong hình học phẳng Đường tròn Apollonius là một số đường tròn được đề cập bởi nhà toán học Apollonius của Perga (255 TCN-170 TCN) vào khoảng năm 200 TCN. Tuy nhiên trong số các đường tròn này có thể xác định một cách tương tự trong một số mặt khác.

Quỹ tích đường tròn Apollonius

Đường tròn Apollonius.

Cho A và B là hai điểm trong mặt phẳng và ${\displaystyle r={\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$ là một số dương khác 1 thì quỹ tích của các điểm P sao cho tỉ số các độ dài ${\displaystyle {\frac {AP}{BP}}={\frac {d_{1}}{d_{2}}}=r}$ là một đường tròn. Đường tròn xây dựng theo cách này còn được gọi là đường tròn Apollonius.

Chứng minh sử dụng các vector trong không gian Euclide

Cho d₁, d₂ là số thực không bằng nhau. Cho C là điểm phân chia AB của d₁: d₂ và D là điểm phân chia externaly của AB thành d₁: d₂.

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {PC} }}={\frac {d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{d_{2}+d_{1}}},\ {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}={\frac {d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{d_{2}-d_{1}}}.}$

Sau đó,

${\displaystyle \mathrm {PA} :\mathrm {PB} =d_{1}:d_{2}.}$

${\displaystyle \Leftrightarrow d_{2}|{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}|=d_{1}|{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}|.}$

${\displaystyle \Leftrightarrow d_{2}^{2}|{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}|^{2}=d_{1}^{2}|{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}|^{2}.}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})\cdot (d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})=0.}$

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{d_{2}+d_{1}}}\cdot {\frac {d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{d_{2}-d_{1}}}=0.}$

${\displaystyle \Leftrightarrow {\overrightarrow {\mathrm {PC} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}=0.}$

${\displaystyle \Leftrightarrow {\overrightarrow {\mathrm {PC} }}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {\mathrm {PC} }}\perp {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}.}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \mathrm {P} =\mathrm {C} \vee \mathrm {P} =\mathrm {D} \vee \angle {\mathrm {CPD} }=90^{\circ }.}$

Vì vậy, điểm P là trên vòng tròn có đường kính CD.

Vấn đề Apollonius

Vấn đề Apollonius: Cho trước ba đường tròn màu đen ta có thể dụng được tám đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn này

Dựng một đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước. Có đến tám đường tròn có thể dựng được thỏa mãn yêu cầu này.^[1]

Đường tròn Apollonius trong một tam giác

Đường tròn đi qua đỉnh một tam giác và đi qua giao điểm của các đường phân giác trong và phân giác ngoài với cạnh đối diện của một tam giác được gọi là đường tròn Apollonius trong một tam giác. Như vậy trong một tam giác có ba đường tròn Apollonius. Ba đường tròn Apollonius của một tam giác đồng quy tại hai điểm isodynamic của tam giác.^[2][3]

Xem thêm

• Định lý Thébault
• Định lý Apollonius

Chú thích

1. Dörrie H (1965). "The Tangency Problem of Apollonius". 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. New York: Dover. pp. 154–160 (§32).
2. Bottema, Oene (2008), Topics in elementary geometry (2nd ed.), Springer, p. 108, ISBN 9780387781303.
3. Johnson, Roger A. (1917), "Directed angles and inversion, with a proof of Schoute's theorem", American Mathematical Monthly 24 (7): 313–317, JSTOR 2973552.

Tham khảo

• Boyd DW (1973). “The osculatory packing of a three-dimensional sphere”. Canadian J. Math. 25: 303–322. doi:10.4153/CJM-1973-030-5.
• Callandreau, Édouard (1949). Célèbres problèmes mathématiques (bằng tiếng Pháp). Paris: Albin Michel. tr. 219–226. OCLC 61042170.
• Camerer JG (1795). Apollonii de Tactionibus, quae supersunt, ac maxime lemmata Pappi, in hos libros Graece nunc primum edita, e codicibus manuscriptis, cum Vietae librorum Apollonii restitutione, adjectis observationibus, computationibus, ac problematis Apolloniani historia (bằng tiếng La-tinh). Gothae: Ettinger.
• Gisch D, Ribando JM (2004). “Apollonius' Problem: A Study of Solutions and Their Connections” (PDF). American Journal of Undergraduate Research. 3: 15–25. Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 15 tháng 4 năm 2008. Truy cập ngày 9 tháng 8 năm 2015.
• Pappus, Alexandrinus (1933). Pappus d'Alexandrie: La collection mathématique. Paris. OCLC 67245614. Trans., introd., and notes by Paul Ver Eecke. (tiếng Pháp)
• Simon M (1906). Über die Entwicklung der Elementargeometrie im XIX. Jahrhundert (bằng tiếng Đức). Berlin: Teubner. tr. 97–105.
• Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. tr. 3–5. ISBN 0-14-011813-6.

Liên kết ngoài

• “Ask Dr. Math solution”. Mathforum. Truy cập ngày 5 tháng 5 năm 2008.
• Weisstein, Eric W., "Apollonius' problem", MathWorld.
• “Apollonius' Problem”. Cut The Knot. Truy cập ngày 5 tháng 5 năm 2008.
• Kunkel, Paul. “Tangent Circles”. Whistler Alley. Truy cập ngày 5 tháng 5 năm 2008.
• Austin, David (tháng 3 năm 2006). “When kissing involves trigonometry”. Feature Column at the American Mathematical Society website. Truy cập ngày 5 tháng 5 năm 2008.
• “Solution of Apollonious Circles”. Mathschool. Truy cập ngày 1 tháng 1 năm 2011.^{[liên kết hỏng]}