Định lý Hurwitz

Trong lý thuyết số, Định lý Hurwitz, được đặt tên theo nhà toán học Adolf Hurwitz. Định lý thuộc lĩnh vực xấp xỉ Diophantine (tiếng Anh: Diophantine approximation). Định lý khẳng định rằng với bất kì số vô tỉ ξ luôn tồn tại vô số hữu tỉ m/n sao cho

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}.}$

Giả thiết ξ là số vô tỉ có thể bỏ qua, nghĩa là định lý thỏa mãn cả với ξ là số hữu tỉ (điều này là hiển nhiên).

Hằng số ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5}}}$ là tốt nhất (là hằng số nhỏ nhất đảm bảo định lý Hurwitz đúng với mọi số thực ξ); thật vậy, nếu ta thay ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5}}}$ bằng số thực ${\displaystyle \scriptstyle A>{\sqrt {5}}}$ và chọn ${\displaystyle \scriptstyle \xi =(1+{\sqrt {5}})/2}$ (tỉ lệ vàng) thì chỉ tồn tại hữu hạn số hữu tỉ m/n thỏa mãn công thức trên.

Chú thích

• Hurwitz, A. (1891). “Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche (On the approximation of irrational numbers by rational numbers)”. Mathematische Annalen (bằng tiếng Đức). 39 (2): 279–284. doi:10.1007/BF01206656. JFM 23.0222.02.
• G. H. Hardy, Edward M. Wright, Roger Heath-Brown, Joseph Silverman, Andrew Wiles (2008). “Theorem 193”. An introduction to the Theory of Numbers (ấn bản thứ 6). Oxford science publications. tr. 209. ISBN 0199219869.
• LeVeque, William Judson (1956), Topics in number theory, Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass., MR0080682

Tham khảo