Bất đẳng thức Jensen

Minh họa trực quan của bất đẳng thức Jensen: Trên đoạn lồi của hàm số, dây cung nối hai điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số đều nằm trên đoạn đồ thị nằm giữa hai điểm đó.

Trong toán học, bất đẳng thức Jensen (tiếng Anh: Jensen's inequality), được đặt theo tên nhà toán học người Đan Mạch Johan Jensen, biểu hiện mối quan hệ giữa tổng các giá trị của một hàm lồi. Bất đẳng thức này được chứng minh bởi Jensen vào năm 1906,[1] dựa trên một chứng minh từ trước đó cho hàm khả vi cấp hai của Otto Hölder vào năm 1889.[2] Bất đẳng thức này xuất hiện ở nhiều dạng khác nhau dựa trên sự cần thiết, một vài trong số chúng sẽ được trình bày dưới đây. Trong ngữ nghĩa đơn giản nhất, bất đẳng thức Jensen khẳng định rằng giá trị hàm lồi của một tổ hợp lồi luôn nhỏ hơn hoặc bằng tổ hợp lồi của các giá trị tương ứng, và khi hàm số được xét là hàm lõm, bất đẳng thức sẽ đổi chiều.[3]

Bất đẳng thức Jensen khi đó cũng khẳng định đối với một đoạn đồ thị của một hàm lồi, dây cung nối hai điểm đầu và cuối sẽ luôn nằm phía trên đoạn đồ thị đó, đây là trường hợp hai biến số của bất đẳng thức Jensen: Dây cung biểu thị cho tổ hợp lồi của giá trị hàm lồi (với t ∈ [0,1]),

còn phần đồ thị hàm số biểu thị cho giá trị hàm số của tổ hợp lồi,

Khi đó, ta có bất đẳng thức Jensen:

Trong lý thuyết xác suất, bất đẳng thức Jensen được phát biểu dưới dạng: Nếu X là một biến ngẫu nhiênφ là hàm lồi, khi đó

Sự chênh lệch giữa hai đại lượng của bất đẳng thức được gọi là chênh lệch Jensen.[4]

Chú thích

[sửa | sửa mã nguồn]
  1. ^ Jensen, J. L. W. V. (1906). "Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes". Acta Mathematica. 30 (1): 175–193. doi:10.1007/BF02418571.
  2. ^ Guessab, A.; Schmeisser, G. (2013). "Necessary and sufficient conditions for the validity of Jensen's inequality". Archiv der Mathematik. 100 (6): 561–570. doi:10.1007/s00013-013-0522-3. MR 3069109. S2CID 56372266.
  3. ^ Dekking, F.M.; Kraaikamp, C.; Lopuhaa, H.P.; Meester, L.E. (2005). A Modern Introduction to Probability and Statistics: Understanding Why and How. Springer Texts in Statistics. London: Springer. doi:10.1007/1-84628-168-7. ISBN 978-1-85233-896-1.
  4. ^ Gao, Xiang; Sitharam, Meera; Roitberg, Adrian (2019). "Bounds on the Jensen Gap, and Implications for Mean-Concentrated Distributions" (PDF). The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications. 16 (2). arXiv:1712.05267.

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài

[sửa | sửa mã nguồn]
Chúng tôi bán
Bài viết liên quan
LCK mùa xuân 2024: Lịch thi đấu, kết quả trực tiếp
LCK mùa xuân 2024: Lịch thi đấu, kết quả trực tiếp
Mùa giải LCK mùa xuân 2024 đánh dấu sự trở lại của giải vô địch Liên Minh Huyền Thoại Hàn Quốc (LCK)
Thuật toán A* - Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm bất kì được Google Maps sử dụng
Thuật toán A* - Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm bất kì được Google Maps sử dụng
Đây là thuật toán mình được học và tìm hiểu trong môn Nhập môn trí tuệ nhân tạo, mình thấy thuật toán này được áp dụng trong thực tế rất nhiều
Nhân vật Tooru Mutsuki trong Tokyo Ghoul
Nhân vật Tooru Mutsuki trong Tokyo Ghoul
Mucchan là nữ, sinh ra trong một gia đình như quần què, và chịu đựng thằng bố khốn nạn đánh đập bạo hành suốt cả tuổi thơ và bà mẹ
Nhân vật Yamada Asaemon Sagiri -  Jigokuraku
Nhân vật Yamada Asaemon Sagiri - Jigokuraku
Yamada Asaemon Sagiri (山田やま浅だあェえも門ん 佐さ切ぎり) là Asaemon hạng 12 của gia tộc Yamada, đồng thời là con gái của cựu thủ lĩnh gia tộc, Yamada Asaemon Kichij