Hàm lồi

Hàm lồi trên một đoạn khoảng cách.

Một hàm (màu đen) là lồi nếu và chỉ nếu vùng phía trên đồ thị của hàm số của nó (màu xanh) là một tập lồi.

Một đồ thị đa thức hàm lồi x² + xy + y².

Trong toán học, một hàm có giá trị thực định nghĩa một khoảng cách chiều n được gọi là lồi (tiếng Anh: convex) nếu đoạn thẳng ở giữa, nối bất kỳ hai điểm nào của đồ thị của hàm số nằm phía trên đồ thị giữa hai điểm. Tương tự, một hàm là hàm lồi nếu epigraph (tập các điểm ở trên hoặc phía trên đồ thị hàm số) là một tập lồi. Hàm khả vi hai lần (twice-differentiable) của một biến đơn là hàm lồi nếu và chỉ nếu đạo hàm cấp hai của nó là không âm trên toàn bộ miền giá trị của nó.^[1] Các ví dụ phổ biến của hàm lồi trên một biến đơn bao gồm hàm số bậc hai ${\displaystyle x^{2}}$ và hàm mũ ${\displaystyle e^{x}}$. Nói một cách dễ hiểu, hàm lồi dùng để chỉ một hàm có dạng hình cái cốc ${\displaystyle \cup }$, và một hàm lõm có hình dạng của một cái mũ ${\displaystyle \cap }$.

Xem thêm

• Hàm lõm
• Giải tích lồi
• Liên hợp lồi
• Tối ưu hóa lồi
• Geodesic convexity
• Bất đẳng thức Hermite–Hadamard
• Invex function
• Bất đẳng thức Jensen
• K-convex function
• Kachurovskii's theorem, liên quan đến độ lồi tính đơn điệu của đạo hàm
• Bất đẳng thức Karamata
• Logarithmically convex function
• Pseudoconvex function
• Quasiconvex function
• Subderivative của một hàm lồi

Ghi chú

1. “Lecture Notes 2” (PDF). www.stat.cmu.edu. Truy cập ngày 3 tháng 3 năm 2017.

Tham khảo

• Bertsekas, Dimitri (2003). Convex Analysis and Optimization. Athena Scientific.
• Jonathan Borwein, and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.
• Donoghue, William F. (1969). Distributions and Fourier Transforms. Academic Press.
• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, and Claude Lemaréchal. (2004). Fundamentals of Convex analysis. Berlin: Springer.
• Mark Krasnoselsky, Rutickii Ya.B. (1961). Convex Functions and Orlicz Spaces. Groningen: P.Noordhoff Ltd.
• Lauritzen, Niels (2013). Undergraduate Convexity. World Scientific Publishing.
• Luenberger, David (1984). Linear and Nonlinear Programming. Addison-Wesley.
• Luenberger, David (1969). Optimization by Vector Space Methods. Wiley & Sons.
• Rockafellar, R. T. (1970). Convex analysis. Princeton: Princeton University Press.
• Thomson, Brian (1994). Symmetric Properties of Real Functions. CRC Press.
• Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing  Co., Inc. tr. xx+367. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556.

Liên kết ngoài

• Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Convex function (of a real variable)”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Convex function (of a complex variable)”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4