Bất đẳng thức Levinson

Trong toán học, bất đẳng thức Levinson được đặt theo tên Norman Levinson, đây là một bất đẳng thực liên quan đến các số thực dương. Cho ${\displaystyle a>0}$ và ${\displaystyle f}$ có đạo hàm bậc ba trên khoảng ${\displaystyle (0,2a)}$, thỏa mãn:

${\displaystyle f'''(x)\geq 0}$

Khi cho các số ${\displaystyle x_{i}}$, sao cho ${\displaystyle 0<x_{i}\leq a}$ với ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ and ${\displaystyle 0<p}$. Khi đó ta có

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}f(x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}-f\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}f(2a-x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}-f\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}(2a-x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}\right).}$

Bất đẳng thức Ky Fan là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Levinson, với

${\displaystyle p_{i}=1,\ a={\frac {1}{2}},}$

và

${\displaystyle f(x)=\log x.\,}$

Xem thêm

• Bất đẳng thức
• Bất đẳng thức Jensen
• Bất đẳng thức Karamata
• Bất đẳng thức Ky Fan
• Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân

Tham khảo

• Scott Lawrence and Daniel Segalman: A generalization of two inequalities involving means, Proceedings of the American Mathematical Society. Vol 35 No. 1, September 1972.
• Norman Levinson: Generalization of an inequality of Ky Fan, Journal of Mathematical Analysis and Applications. Vol 8 (1964), 133–134.