Bất đẳng thức Ky Fan

Bất đẳng thức Ky Fan là một bất đẳng thức liên quan đến trung bình cộng và trung bình nhân của một dãy số dương nằm trong đoạn [0,1/2]. Bất đẳng thức này là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Levinson

Bất đẳng thức Ky Fan được sử dụng trong lý thuyết trò chơi để tìm kiếm một trạng thái cân bằng.

Phát biểu cổ điển của bất đẳng thức

Cho x_i với 0 ≤ x_i ≤ ½ với i = 1,..., n là các số thực, khi đó

{\frac {{\bigl (}\prod _{i=1}^{n}x_{i}{\bigr )}^{1/n}}{{\bigl (}\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i}){\bigr )}^{1/n}}}\leq {\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(1-x_{i})}}

Nhận xét

Theo định nghĩa trung bình đại số và trung bình hình học của dãy x₁,. . ., x_n lần lượt.

A_{n}:={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i},\qquad G_{n}={\biggl (}\prod _{i=1}^{n}x_{i}{\biggr )}^{1/n}

Theo định nghĩa trung bình đại số và trung bình hình học của dãy 1 − x₁,. . ., 1 − x_n lần lượt:

$A_{n}':={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(1-x_{i}),\qquad G_{n}'={\biggl (}\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i}){\biggr )}^{1/n}$

Khi đó bất đẳng thức Ky Fan có thể viết lại dưới dạng:

{\frac {G_{n}}{G_{n}'}}\leq {\frac {A_{n}}{A_{n}'}},

Tổng quát

Cho x_i ∈ [0,½] and γ_i ∈ [0,1] với i = 1,. . ., n là n số thực thỏa mãn γ₁ +. . . + γ_n = 1, thì:

{\frac {\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\gamma _{i}}}{\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i})^{\gamma _{i}}}}\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}(1-x_{i})}}

Nếu định nghĩa 0⁰:= 0. Khi đó dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

Trường hợp 1: γ_ix_i = 0 với mọi i = 1,. . ., n or
Trường hợp 2: x_i=x > 0 trong đó x ∈ (0,½] với mọi i = 1,. . ., n và γ_i > 0.

Xem thêm

Tham khảo

Alzer, Horst (tháng 6 năm 1988). “Verschärfung einer Ungleichung von Ky Fan”. Aequationes Mathematicae (bằng tiếng Đức). 36 (2–3): 246–250. doi:10.1007/BF01836094. ISSN 0001-9054.

Beckenbach, Edwin Ford; Bellman, Richard Ernest (1961). Inequalities. Berlin–Göttingen–Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 3-7643-0972-5.

Moslehian, M. S. “Ky Fan inequalities”. Linear and Multilinear Algebra. to appear. arXiv:1108.1467.

Neuman, Edward; Sándor, József (2002). “On the Ky Fan inequality and related inequalities I” (PDF). Mathematical Inequalities & Applications. 5 (1): 49–56.

Neuman, Edward; Sándor, József (tháng 8 năm 2005). “On the Ky Fan inequality and related inequalities II”. Bulletin of the Australian Mathematical Society (bằng tiếng Anh). 72 (1): 87–107. doi:10.1017/S0004972700034894. ISSN 0004-9727.