Bổ đề Bézout

Trong lý thuyết số cơ bản, bổ đề Bézout được phát biểu thành định lý sau:

Nếu ${\displaystyle d=\gcd(a,b)}$ là ước chung lớn nhất của hai số nguyên không âm ${\displaystyle a}$ và ${\displaystyle b}$ thì:

• Tồn tại hai số nguyên ${\displaystyle x}$ và ${\displaystyle y}$ sao cho ${\displaystyle a\cdot x+b\cdot y=d}$,
• ${\displaystyle d}$ là số nguyên dương nhỏ nhất có thể viết dưới dạng ${\displaystyle a\cdot x+b\cdot y}$ và
• Mỗi số ${\displaystyle e}$ có dạng ${\displaystyle a\cdot x+b\cdot y}$ đều là bội của ${\displaystyle d}$.

Hai số ${\displaystyle x}$ và ${\displaystyle y}$ được gọi là hệ số Bézout của cặp ${\displaystyle (a,b)}$. Cặp ${\displaystyle (x,y)}$ không phải là duy nhất. Có thể dùng giải thuật Euclid mở rộng để xác định giá trị của cặp ${\displaystyle (x,y)}$. Nếu ${\displaystyle a}$ và ${\displaystyle b}$ đồng thời khác 0 thì từ giải thuật Euclid mở rộng ta có cặp ${\displaystyle (x,y)}$ sao cho ${\displaystyle |x|\leq \left|{\frac {b}{d}}\right|}$ và ${\displaystyle |y|\leq \left|{\frac {a}{d}}\right|}$ (đẳng thức có thể xảy ra khi và chỉ khi a hoặc b là bội số của số còn lại).

Nhiều định lý khác trong lý thuyết số cơ bản là kết quả của bổ đề Bézout, chẳng hạn như bổ đề Euclid hoặc định lý số dư Trung Hoa.

Đại số giao hoán

Đặt ${\displaystyle A}$ là một vành. Ta nói ${\displaystyle A}$ là một miền Bézout nếu với mọi i-đê-an chính ${\displaystyle (a)}$ và ${\displaystyle (b)}$ trong ${\displaystyle A}$, ta có ${\displaystyle (a)+(b)=\{ra+sb\mid r,s\in A\}}$ là một i-đê-an chính. Phần tử sinh của nó cũng được gọi là ước số chung lớn nhất của ${\displaystyle a}$ và ${\displaystyle b}$.

Mọi miền Bézout đều thỏa mãn bổ đề Bézout (trừ điều kiện "nhỏ nhất", bởi trên vành ${\displaystyle A}$ không nhất thiết phải có một thứ tự). Đặc biệt, đặc biệt các vành chính là các miền Bézout. Mỗi định lý rút ra từ bổ đề Bézout là đúng trong tất cả các vành đó.

Dạng của đáp án

Với một cặp hệ số Bézout ${\displaystyle (x,y)}$ được cho trước (bằng cách dùng giải thuật Euclid mở rộng), thì tất cả các cặp hệ số còn lại có dạng

${\displaystyle \left(x+k\cdot {\frac {b}{\gcd(a,b)}},\ y-k\cdot {\frac {a}{\gcd(a,b)}}\right),}$

với k là một số nguyên ngẫu nhiên và các phân số được đơn giản hóa thành các số nguyên.

Có chính xác 2 cặp trong tất cả các cặp hệ số Bézout thỏa mãn:

${\displaystyle |x|\leq \left|{\frac {b}{\gcd(a,b)}}\right|\quad {\text{và}}\quad |y|\leq \left|{\frac {a}{\gcd(a,b)}}\right|,}$

và đẳng thức chỉ có thể xảy ra khi và chỉ khi a hoặc b là bội số của số còn lại.

Kết quả này dựa trên tính chất của phép chia có dư: Cho 2 số nguyên c và d, nếu c không chia hết cho d thì có chính xác một cặp ${\displaystyle (q,r)}$ sao cho ${\displaystyle c=d\cdot q+r}$ và ${\displaystyle 0<r<|d|}$, và một cặp khác sao cho ${\displaystyle c=d\cdot q+r}$ và ${\displaystyle 0<-r<|d|}$.^{[cần dẫn nguồn]}

Có thể xác định hai cặp hệ số Bézout nhỏ trên bằng cách chọn k trong công thức trên để lấy phần dư của phép chia x cho ${\displaystyle b/\gcd(a,b)}$.^{[cần dẫn nguồn]}

Giải thuật Euclid mở rộng luôn cho ta một trong 2 cặp tối thiểu này.

Ví dụ

Cho a = 12, b = 42 và gcd (12, 42) = 6. Thì ta có bổ đề Bézout sau (hệ số Bézout có màu đỏ khi là cặp nhỏ nhất và là màu xanh cho các cặp còn lại.):

${\displaystyle {\begin{aligned}\vdots \\12&\times \color {blue}{-10}&+\;\;42&\times \color {blue}{3}&=6\\12&\times \color {red}{-3}&+\;\;42&\times \color {red}{1}&=6\\12&\times \color {red}{4}&+\;\;42&\times \color {red}{-1}&=6\\12&\times \color {blue}{11}&+\;\;42&\times \color {blue}{-3}&=6\\12&\times \color {blue}{18}&+\;\;42&\times \color {blue}{-5}&=6\\\vdots \end{aligned}}}$

Chứng minh

Cho hai số nguyên a và b, đặt ${\displaystyle S=\{ax+by\mid x,y\in \mathbb {Z} \}}$. Tập S chứa các số nguyên dương và cũng chứa ±a và ±b. Cho ${\displaystyle d=as+bt}$ là số nguyên dương nhỏ nhất trong S. Để chứng minh rằng d là ước chung lớn nhất của a và b, ta chỉ cần chứng minh rằng d là một ước số chung của a và b, bởi vì tất cả phần tử trong S bao gồm cả d là ước của ước chung lớn nhất. Thực tế, bất kỳ ước chung của a và b đều được chia hết bởi ${\displaystyle as+bt=d}$, do đó không thể lớn hơn d.

Phép chia có dư của a cho d có thể ký hiệu

${\displaystyle a=d\cdot q+r\quad {\text{với}}\quad 0\leq r<d}$.

Số dư r nằm trong tập S do

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=a-q\cdot d\\&=a-q\cdot (a\cdot s+b\cdot t)\\&=a\cdot (1-q\cdot s)-b\cdot q\cdot t.\end{aligned}}}$

Khi d là số nguyên dương nhỏ nhất trong S thì phần dư r cần phải bằng 0, suy ra d là một ước của a. Tương tự d cũng là một ước số của b, ta có điều cần chứng minh.

Tổng quát

Với nhiều hơn hai số nguyên

Có thể mở rộng bổ đề Bézout với nhiều hơn hai số nguyên: nếu

${\displaystyle \gcd(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=d}$

thì có các số nguyên ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ sao cho

${\displaystyle d=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}}$

trong đó:

• d là số nguyên dương nhỏ nhất có dạng này
• mỗi số nguyên có dạng này là một bội số của d

Với đa thức

Với tập xác định lý tưởng cơ bản

Lịch sử

Nhà toán học người Pháp Étienne Bézout (1730–1783) đã chứng minh bổ đề này cho đa thức.^[1] Tuy nhiên người chứng minh định lý này cho các số nguyên là nhà toán học người Pháp khác Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581–1638).^[2][3][4]

Xem thêm

• định lý AF+BG, một bổ đề Bézout tương tự dành cho đa thức đồng nhất trong ba số vô định.
• Định lý cơ bản của số học
• Bổ đề Euclid

Chú thích

1. Bézout, É. (1779). Théorie générale des équations algébriques. Paris, France: Ph.-D. Pierres.
2. Tignol, Jean-Pierre (2001). Lý thuyết Galois về phương trình đại số. Singapore: World Scientific. ISBN 981-02-4541-6.
3. Claude Gaspard Bachet (sieur de Méziriac) (1624). Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres (ấn bản thứ 2). Lyons, France: Pierre Rigaud & Associates. tr. 18–33. Trong bài báo này, Bachet chứng minh (không có công thức) "Proposition XVIII. Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre." (Cho hai số nguyên tố cùng nhau, tìm bội nhỏ nhất của từng số nhân với một số mà hiệu của 2 bội này bằng 1. Bài toán này (a*x - b*y = 1) là trường hợp đặc biệt của phương trình Bézout và được Bachet dùng để chứng minh các bài toán trong trang 199 ff.
4. Xem thêm: Maarten Bullynck (tháng 2 năm 2009). “Số học mô đun trước C.F. Gauss: Hệ thống hóa và thảo luận về các bài toán phần dư trong thế kỷ thứ 18 ở Đức” (PDF). Historia Mathematica. 36 (1): 48–72. doi:10.1016/j.hm.2008.08.009.

Liên kết ngoài

• Máy tính online cho bổ đề Bézout.
• Weisstein, Eric W., "Bổ đề Bezout", MathWorld.