I-đê-an chính

Trong toán học, cụ thể là lý thuyết vành, một i-đê-an chính là một i-đê-an ${\displaystyle I}$ trong một vành ${\displaystyle R}$ được sinh bởi một phần tử duy nhất ${\displaystyle a}$ thuộc ${\displaystyle R}$.

Định nghĩa

• một i-đê-an chính bên trái của ${\displaystyle R}$ là một tập hợp con của ${\displaystyle R}$ có dạng ${\displaystyle Ra=\{ra:r\in R\}}$
• một i-đê-an chính bên phải của ${\displaystyle R}$ là một tập hợp con của ${\displaystyle R}$ có dạng ${\displaystyle aR=\{ar:r\in R\}}$
• một i-đê-an chính hai phía của ${\displaystyle R}$ là tập hợp con của tất cả các tổng hữu hạn của các phần tử có dạng ${\displaystyle ras}$, cụ thể là ${\displaystyle RaR=\{r_{1}as_{1}+\ldots +r_{n}as_{n}:r_{1},s_{1},\ldots ,r_{n},s_{n}\in R\}}$

Nếu ${\displaystyle R}$ là một vành giao hoán với đơn vị, ba khái niệm trên tương đương nhau. Trong trường hợp đó, người ta thường viết i-đê-an sinh bởi ${\displaystyle a}$ là ${\displaystyle \langle a\rangle }$ hoặc ${\displaystyle (a).}$

Một miền nguyên mà trong đó mọi i-đê-an của nó đều là i-đê-an chính được gọi là một vành chính.^[1]

Một vành (không nhất thiết phải là miền nguyên, hay thậm chí không nhất thiết phải là một vành giao hoán) mà trong đó mọi i-đê-an của nó đều là i-đê-an chính tạm thời không có tên gọi cụ thể. (Trong tiếng Anh, nó thường được gọi là một principal (ideal) ring^[2], và một vành chính (mà là miền nguyên) được gọi là principal ideal domain^[2] - trong một số tài liệu Pháp ngữ, một vành (mà không nhất thiết phải là miền nguyên) trong đó mọi i-đê-an đều là i-đê-an chính được gọi là một anneau quasi-principal^[3], và một vành chính (mà là miền nguyên) được gọi là anneaux principal^[4])

Chú thích

1. Nghiêm Xuân Cảnh (2008), Định nghĩa 1.4.1.3
2. ^ Barile, Margherita, Weisstein, Eric W.
3. Bourbaki (2006), chương 7, §1, bài tập 6
4. Bourbaki (2006), VII.1.1

Tham khảo

• Barile, Margherita, Weisstein, Eric W. "Principal Ring." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/PrincipalRing.html
• Bourbaki, Nicolas, (2006), Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitre 4 à 7; Springer, (ISBN 978-3-540-34398-1)
• Gallian, Joseph A. (2017). Contemporary Abstract Algebra (ấn bản 9). Cengage Learning. ISBN 978-1-305-65796-0.
• Nghiêm Xuân Cảnh (2008), Mô đun tự do trên vành chính, (Luận văn thạc sĩ toán học), Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh