Dạng toàn phương

Trong toán học, một dạng toàn phương là một đa thức với các số hạng có bình phương. Ví dụ

là một dạng toàn phương với các biến x và y. Các hệ số thường thuộc một trường K cố định, chẳng hạn như số thực hoặc số phức.

Các dạng toàn phương chiếm vị trí trung tâm trong nhiều nhánh toán học khác nhau, bao gồm lý thuyết số, đại số tuyến tính, lý thuyết nhóm (nhóm trực giao), hình học vi phân (metric Riemann, dạng cơ bản thứ hai), tô pô vi phân (dạng giao của 4-đa-tạp) và lý thuyết Lie (dạng Killing).

Định nghĩa

Một dạng toàn phương trên một trường K là một ánh xạ ${\displaystyle q:V\to K}$ từ một không gian vectơ hữu hạn chiều trên K vào K sao cho tồn tại một dạng song tuyến tính ${\displaystyle \eta :V\times V\to K}$ thỏa mãn

• ${\displaystyle q(u)=\eta (u,u)}$^[1]

Hệ quả: với mọi ${\displaystyle a\in K,v\in V}$, ${\displaystyle q(av)=a^{2}q(v)}$.

Cụ thể hơn, ta có một biểu diễn dưới dạng đa thức:

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}},\quad a_{ij}\in K.}$

Sử dụng ma trận A = (a_ij), ta có thể viết lại công thức trên dưới dạng

${\displaystyle q(x)=x^{\mathrm {T} }Ax.}$

Nếu đặc số của trường K khác 2

• Ma trận hệ số A của q có thể được thay thế bằng ma trận đối xứng (A + A^T)/2.
• Dạng song tuyến tính ${\displaystyle \eta }$ có thể được tính theo ${\displaystyle q}$: ${\displaystyle \eta (\alpha ,\beta )={\frac {1}{2}}(q(\alpha +\beta )-q(\alpha )-q(\beta ))}$^[1]

Chú thích

1. ^ Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), tr. 234

Tham khảo

• Nguyễn Hữu Việt Hưng, 1999, Đại số tuyến tính

Đọc thêm

• Cassels, J.W.S. (1978). Rational Quadratic Forms. London Mathematical Society Monographs. Quyển 13. Academic Press. ISBN 0-12-163260-1. Zbl 0395.10029.
• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Arithmetic of quadratic forms. Cambridge Tracts in Mathematics. Quyển 106. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021.
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. Quyển 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Quyển 73. Springer-Verlag. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016.
• O'Meara, O.T. (1973). Introduction to quadratic forms. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Quyển 117. Springer-Verlag. ISBN 3-540-66564-1. Zbl 0259.10018.
• Pfister, Albrecht (1995). Quadratic Forms with Applications to Algebraic Geometry and Topology. London Mathematical Society lecture note series. Quyển 217. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46755-1. Zbl 0847.11014.

Liên kết ngoài

• A.V.Malyshev (2001), "Quadratic form", trong Hazewinkel, Michiel (biên tập), Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• A.V.Malyshev (2001), "Binary quadratic form", trong Hazewinkel, Michiel (biên tập), Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4