Hàm sinc

Hàm sinc chuẩn (xanh) và hàm sinc không chuẩn (đỏ) trên cùng một hệ trục tọa độ từ x = −6π đến 6π.

Trong toán học, hàm sinc, ký hiệu là sinc(x) hoặc đôi khi là Sa(x), là một hàm giải tích có hai định nghĩa tương đương tương tự nhau.[1] Trong xử lý tín hiệu số, hàm số sinc chuẩn được định nghĩa là

.

Nó được xem là định nghĩa chuẩn vì tất cả các giá trị của hàm tại các điểm x nguyên là bằng nhau.

Trong toán học, khái niệm hàm sinc không chuẩn còn được gọi là si(x) được định nghĩa là

.

Điểm khác nhau duy nhất giữa hai định nghĩa là sự nhân giá trị của biến với thừa số π. Trong cả hai trường hợp, giá trị của hàm số tại điểm kì dị 0 được hiểu là có giá trị giới hạn bằng 1.

.

Khái niệm "sinc" (/ˈsɪŋk/) được viết tắt từ tên đầy đủ hàm này trong tiếng Latin là sinus cardinalis, do Phillip M. Woodward đưa ra lần đầu tiên vào năm 1953.[2][3][4]

Giao với trục hoành

[sửa | sửa mã nguồn]
Cực đại và cực tiểu của hàm si(x) không chuẩn ứng với các giá trị x tại giao điểm của hàm si(x)và cos(x). Đồ thị hàm sinc màu đỏ, đồ thị hàm cosin màu xanh.

Hàm sinc không chuẩn cắt trục hoành tại những điểm là bội số của , với k là số nguyên khác 0, và đạt cực trị tại các điểm giao với hàm số cosin, tức là những điểm x=ξ và sin(ξ)/ξ = cos(ξ), lúc đó thì đạo hàm của [sin(x)/x]' = 0.

với
với

Biến đổi

[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm sinc chuẩn có thể biến đổi như sau:

Và cũng có thể biến đổi theo hàm Gamma bằng công thức Euler áp dụng cho hàm chẳn:

Cũng theo công thức Euler:

Chuỗi Taylor:

Biến đổi Fourier

[sửa | sửa mã nguồn]

Biến đổi Fourier của một hàm sinc (tần số thường) là một hàm rect(f):

Với hàm rect được định nghĩa như sau:

.

Biến đổi Fourier của hàm rect trên cũng thu được một hàm sinc:

.

Ứng dụng thực tế công thức này để tạo thành bộ lọc sinc như các bộ lọc thông thấp hay brick-wall. Trường hợp đặc biệt trong biến đổi Fourier này:

là một tích phân suy rộng và không phải là một tích phân Lebesgue hội tụ, như:

Những tính chất của hàm sinc chuẩn được ứng dụng trong việc tái lập các mẫu của những hàm có giới hạn băng thông:

  • Là một hàm nội suy, tức là sinc(0) = 1, và sinc(k) = 0 với k là số tự nhiên khác 0.
  • Hàm xk(t) = sinc(t−k) (k là số tự nhiên) hình thành một hệ cơ sở trực chuẩn (orthonormal basic) của các hàm có băng thông giới hạn trong không gian hàm Lp: L2(R) với tần số góc cao nhất ωH=π (có nghĩa là tần số chu kỳ cao nhất ƒH=1/2).

Đạo hàm

[sửa | sửa mã nguồn]

Đạo hàm bậc n của hàm:

, với x ≠ 0.

Có dạng:

Từ đó suy ra:

Cực trị

[sửa | sửa mã nguồn]

Giá trị gần đúng của hoành độ x tại cực trị thứ n với n ≥ 1 có thể tính bằng công thức:

Với giá trị n lẻ tương ứng với điểm cực tiểu, n chẳn tương ứng với điểm cực đại. Đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung và đạt cực đại lớn nhất tại vị trí ξ0 = (0,1).

Cực trị của hàm si(x) = sin(x)/x
Cực đại Cực tiểu
0
≈ 4,4934095 ≈ 1½π − 0,219284
≈ 7,7252518 ≈ 2½π − 0,12873
≈ 10,904122 ≈ 3½π − 0,091452
≈ 14,066194 ≈ 4½π − 0,070973
≈ 17,220755 ≈ 5½π − 0,057989
≈ 20,371303 ≈ 6½π − 0,049049
≈ 23,519452 ≈ 7½π − 0,042493
≈ 26,666054 ≈ 8½π − 0,042998
≈ 29,811599 ≈ 9½π − 0,033531
≈ 32,956389 ≈ 10½π − 0,030334
≈ 36,100622 ≈ 11½π − 0,0276935
≈ 39,244432 ≈ 12½π − 0,025476
≈ (2n−½)·π − ((2n−½)·π)−1
≈ (2n+½)·π − ((2n+½)·π)−1

Chú thích

[sửa | sửa mã nguồn]
  1. ^ Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. biên tập (2010), “Numerical methods”, NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, MR2723248
  2. ^ Poynton, Charles A. (2003). Digital video and HDTV. Morgan Kaufmann Publishers. tr. 147. ISBN 1558607927.
  3. ^ Woodward, Phillip M. (1953). Probability and information theory, with applications to radar. London: Pergamon Press. tr. 29. ISBN 0890061033. OCLC 488749777..
  4. ^ Also apparently earlier in; Woodward, P. M.; Davies, I. L. (tháng 3 năm 1952). “Information theory and inverse probability in telecommunication”. Proceedings of the IEE - Part III: Radio and Communication Engineering. 99 (58): 37–44. doi:10.1049/pi-3.1952.0011.

Liên kết ngoài

[sửa | sửa mã nguồn]
Chúng tôi bán
Bài viết liên quan
Review phim Nhật Thực Toàn Phần - Total Eclipse 1995
Review phim Nhật Thực Toàn Phần - Total Eclipse 1995
Phim xoay quanh những bức thư được trao đổi giữa hai nhà thơ Pháp thế kỷ 19, Paul Verlanie (David Thewlis) và Arthur Rimbaud (Leonardo DiCaprio)
Cung mệnh và chòm sao của Kaveh - Genshin Impact
Cung mệnh và chòm sao của Kaveh - Genshin Impact
Hiện tại thì cả tên cung mệnh lẫn tên banner của Kaveh đều có liên quan đến thiên đường/bầu trời, tên banner lão là 天穹の鏡 (Thiên Khung chi Kính), bản Việt là Lăng kính vòm trời, bản Anh là Empryean Reflection (Heavenly reflection
Hướng dẫn build đồ cho Citlali trong Genshin Impact
Hướng dẫn build đồ cho Citlali trong Genshin Impact
Hầu hết các kỹ năng của Citlali đều có scale cơ bản theo chỉ số tấn công, nhưng chỉ số tấn công cơ bản của cô hiện đang thấp thứ hai game
Hướng dẫn tính năng Thần Hỏa LMHT
Hướng dẫn tính năng Thần Hỏa LMHT
Thần Hỏa là một hệ thống thành tựu theo dõi chỉ số trên từng vị tướng giúp lưu lại, vinh danh và khoe mẽ nhưng khoảnh khắc thú vị trong và ngoài trận đấu