I-đê-an

Trong lý thuyết vành, một nhánh của đại số trừu tượng, i-đê-an là một khái niệm tổng quá hóa khái niệm bội số.

Định nghĩa

Đối với một vành tùy ý ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$, ký hiệu cho ${\displaystyle (R,+)}$ là nhóm cộng nền của nó. Một tập hợp con ${\displaystyle I}$ được gọi là i-đê-an trái nếu:

1. ${\displaystyle (I,+)}$ là một nhóm con của ${\displaystyle (R,+),}$
2. Với mọi ${\displaystyle r\in R}$ và ${\displaystyle x\in I}$, tích ${\displaystyle rx}$ thuộc ${\displaystyle I}$.

Tương tự, ta có thể định nghĩa i-đê-an phải và i-đê-an hai phía.

Một i-đê-an (không có giải thích thêm) thông thường được ngầm hiểu là một i-đê-an trái hoặc một i-đê-an hai phía, tùy ngữ cảnh.

Ví dụ

• Trong vành R, chính tập hợp R tạo thành một i-đê-an hai phía. Nó là i-đê-an chính ${\displaystyle (1)}$, được gọi là i-đê-an đơn vị.
• Một i-đê-an khác đơn vị được gọi là một i-đê-an đích thực (giống như là tập con đích thực).^[1]
• Các số chẵn tạo thành một i-đê-an của vành các số nguyên ${\displaystyle \mathbb {Z} }$; nó thường được ký hiệu là ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$. Tương tự, i-đê-an các bội số của một số nguyên ${\displaystyle n}$ được ký hiệu là ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$.
• Tập hợp tất cả các đa thức chia hết cho x² + 1 là một i-đê-an chính của vành đa thức.
• Tập hợp các ma trận ${\displaystyle n\times n}$ với hàng dưới cùng bằng ${\displaystyle 0}$ là một i-đê-an phải của vành ma trận. Nó không phải là một i-đê-an trái.
• Vành ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ các hàm liên tục f từ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ vào ${\displaystyle \mathbb {R} }$ chứa i-đê-an các hàm số f sao cho f(1) = 0 (i-đê-an các hàm số triệt tiêu tại 1; đây là một i-đê-an tối đại).

Tính chất

Ta có một loạt các loại i-đê-an như sau.

• I-đê-an tối đại: Một i-đê-an đích thực I được gọi là i-đê-an tối đại nếu nó không có i-đê-an đích thực nào chứa nó. Tức là, tồn tại một và chỉ một i-đê-an chứa I: i-đê-an đơn vị. Nó là một phần tử tối đại trong lớp các i-đê-an đích thực (với thứ tự cảm sinh bởi quan hệ bao hàm). Lớp này khác rỗng bởi luôn tồn tại một i-đê-an đích thực: i-đê-an ${\displaystyle (0)}$. Theo bổ đề Zorn, tồn tại ít nhất một i-đê-an tối đại trong một vành (ta xây dựng chặn trên bằng phép hợp).
• I-đê-an tối tiểu: Một i-đê-an là tối tiểu nếu nó khác i-đê-an ${\displaystyle (0)}$ và nó chỉ chứa duy nhất i-đê-an ${\displaystyle (0)}$ (và chính nó).
• I-đê-an nguyên tố.
• I-đê-an gốc hoặc i-đê-an bán nguyên tố.
• I-đê-an sơ cấp.
• I-đê-an chính
• I-đê-an hữu hạn sinh.
• I-đê-an nguyên thủy.
• I-đê-an bất khả quy.
• I-đê-an chính quy.
• I-đê-an lũy linh đơn: một i-đê-an là lũy linh đơn nếu mỗi phần tử của nó là lũy linh.
• I-đê-an lũy linh: một i-đê-an là lũy linh nếu một lũy thừa hữu hạn của nó bằng 0.

Một i-đê-an của một vành ${\displaystyle R}$ được trang bị một cấu trúc ${\displaystyle R}$-mô-đun tự nhiên.

Phép toán i-đê-an

Tổng và tích của các i-đê-an được định nghĩa như sau

${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ và }}b\in {\mathfrak {b}}\}}$,

${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}:=\{a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}}{\text{ và }}b_{i}\in {\mathfrak {b}},i=1,2,\dots ,n;{\text{ với }}n=1,2,\dots \},}$

Ví dụ

Trong ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ta có

${\displaystyle (n)\cap (m)=\operatorname {bcnn} (n,m)\mathbb {Z} }$

Đặt ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$ và ${\displaystyle I=(z,w),{\text{ }}J=(x+z,y+w),{\text{ }}K=(x+z,w)}$. Thế thì,

• ${\displaystyle I+J=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)}$ và ${\displaystyle I+K=(z,w,x+z)}$
• ${\displaystyle IJ=(z(x+z),z(y+w),w(x+z),w(y+w))=(z^{2}+xz,zy+wz,wx+wz,wy+w^{2})}$
• ${\displaystyle IK=(xz+z^{2},zw,xw+zw,w^{2})}$
• ${\displaystyle I\cap J=IJ}$ trong khi ${\displaystyle I\cap K=(w,xz+z^{2})\neq IK}$

Xem thêm

• Số học mô-đun
• Định lý đẳng cấu Noether
• Định lý i-đê-an nguyên tố Boolean
• Lý thuyết i-đê-an
• I-đê-an (lý thuyết thứ tự)
• Định chuẩn i-đê-an
• Phân tách các i-đê-an nguyên tố trong phần mở rộng Galois
• Bó i-đê-an

Tham khảo

1. Lang 2005Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFLang2005 (trợ giúp)

• Atiyah, M. F. và Macdonald, I.G., Introduction to Commutative Algebra, 1969, ISBN 0-201-00361-9
• Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (tái bản lần thứ ba), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3