Lôgarit rời rạc

Lôgarit rời rạc là sự tiếp nối của phép tính lôgarit trên trường số thực vào các nhóm hữu hạn. Ta nhắc lại rằng với hai số thực x, y và cơ số a>0, a≠1,nếu ax=y thì x được gọi là lôgarit cơ số a của y, ký hiệu x= logay.

Lôgarit rời rạc có ứng dụng trong hệ mật mã khóa công khai Hệ mật mã Elgamal, Mật mã dựa trên ghép cặp (Pairing-based Cryptography)...

Cho p là một số nguyên tố. Xét nhóm nhân các số nguyên modulo p: với phép nhân modulo p.

Nếu ta tính luỹ thừa bậc k của một số trong nhóm rồi rút gọn theo modulo p thì ta được một số trong nhóm đó. Quá trình này được gọi là luỹ thừa rời rạc modulo p. Chẳng hạn với p=17, lấy a=3, k=4 ta có

.

Lôgarit rời rạc là phép tính ngược lại:

Biết: hãy tìm k.

Định nghĩa

[sửa | sửa mã nguồn]

Tổng quát, giả sử G là một nhóm cyclic hữu hạn có n phần tử. Chúng ta ký hiệu phép toán của G theo kiểu nhân. Giả sử b là một phần tử sinh của G; khi đó mọi phần tử g G có thể viết dưới dạng g = bk với một số nguyên k nào đó. Hơn nữa, hai số nguyên có cùng tính chất đó với gđồng dư theo modulo n. Chúng ta định nghĩa một hàm

(trong đó Zn ký hiệu cho vành các số nguyên modulo n) theo g là lớp các số nguyên k modulo n. Hàm này là một đồng cấu nhóm, được gọi là logarit rời rạc theo cơ số b.

Sau đây là công thức đổi cơ số giống như logarith thông thường: Nếu c là một phần tử sinh khác của G, thì:

Thuật toán

[sửa | sửa mã nguồn]

Chưa có thuật toán hiệu quả nào để tính logarit rời rạc tổng quát .

Có nhiều thuật toán phức tạp, thường sinh ra từ những thuật toán tương tự cho bài toán phân tích thừa số nguyên. Chúng chạy nhanh hơn các thuật toán thô sơ, nhưng vẫn còn chậm hơn so với thời gian đa thức.

Ứng dụng trong mật mã

[sửa | sửa mã nguồn]

Logarit rời rạc là bài toán khó (chưa biết một thuật toán hiệu quả nào), trong khi bài toán ngược luỹ thừa rời rạc lại không khó (có thể sử dụng thuật toán bình phương và nhân). Tình trạng này giống như tình hình giữa bài toán thừa số nguyên và phép nhân các số nguyên. Chúng đều có thể dùng để xây dựng cấu trúc cho một hệ mật mã.

Người ta thường chọn nhóm G trong mật mã logarit rời rạc là nhóm cyclic (Zp)×; chẳng hạn như mật mã ElGamal, Trao đổi khoá Diffie-Hellman, và Chữ ký số Elgamal.

Ngoài ra còn có mật mã sử dụng lôgarit rời rạc trong nhóm con cyclic của các đường elliptic trên trường hữu hạn; gọi là mật mã đường cong elliptic.

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]
Chúng tôi bán
Bài viết liên quan
Những câu nói lãng mạn đến tận xương tủy
Những câu nói lãng mạn đến tận xương tủy
Những câu nói lãng mạn này sẽ làm thêm một ngày ấm áp trong bạn
Tóm tắt chương 248: Quyết chiến tại tử địa Shinjuku - Jujutsu Kaisen
Tóm tắt chương 248: Quyết chiến tại tử địa Shinjuku - Jujutsu Kaisen
Những tưởng Yuuji sẽ dùng Xứ Hình Nhân Kiếm đâm trúng lưng Sukuna nhưng hắn đã né được và ngoảnh nhìn lại phía sau
Lịch sử nước biển khởi nguyên - Genshin Impact
Lịch sử nước biển khởi nguyên - Genshin Impact
Thế giới ngày xưa khi chưa có Thần - hay còn gọi là “Thế giới cũ” - được thống trị bởi bảy vị đại vương đáng sợ
Nhân vật Erga Kenesis Di Raskreia trong Noblesse
Nhân vật Erga Kenesis Di Raskreia trong Noblesse
Erga Kenesis Di Raskreia (Kor. 에르가 케네시스 디 라스크레아) là Lãnh chúa hiện tại của Quý tộc. Cô ấy được biết đến nhiều hơn với danh hiệu Lord hơn là tên của cô ấy.