Ma trận Cauchy

Trong toán học, một ma trận Cauchy, được đặt tên theo tên nhà toán học Augustin-Louis Cauchy, là một ma trận m×n với các phần tử a_ij ở dạng

${\displaystyle a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n}$

với ${\displaystyle x_{i}}$ và ${\displaystyle y_{j}}$ là các phần tử thuộc Trường (đại số) ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, và ${\displaystyle (x_{i})}$ và ${\displaystyle (y_{j})}$ là các dãy đơn ánh (chúng không chứa các phần tử lặp lại; các phần tử là riêng biệt nhau).

Ma trận Hilbert là trường hợp đặc biệt của ma trận Cauchy với

${\displaystyle x_{i}-y_{j}=i+j-1.\;}$

Mỗi ma trận con của ma trận Cauchy cũng là một ma trận Cauchy.

Định thức Cauchy

Các số ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}}$ là các số thực cho trước sao cho ${\displaystyle a_{i}+b_{j}\not =0\forall i,j}$.

Định thức Cauchy (Cô-si) được định nghĩa như sau:

${\displaystyle D={\begin{vmatrix}{\frac {1}{a_{1}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{1}+b_{2}}}&\ldots &{\frac {1}{a_{1}+b_{n}}}\\{\frac {1}{a_{2}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{2}+b_{2}}}&\ldots &{\frac {1}{a_{2}+b_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {1}{a_{n}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{n}+b_{2}}}&\ldots &{\frac {1}{a_{n}+b_{n}}}\\\end{vmatrix}}}$

Tính được:

${\displaystyle D={\frac {\prod _{i\not =j}(a_{j}-a_{i})\prod _{i\not =j}(b_{j}-b_{i})}{\prod _{i,j}(a_{i}+b_{j})}}}$

Xem thêm

• Bất đẳng thức Cauchy
• Thuật ngữ đại số tuyến tính
• Ma trận Toeplitz

Tham khảo

• A. Gerasoulis (1988). “A fast algorithm for the multiplication of generalized Hilbert matrices with vectors” (PDF). Mathematics of Computation. 50 (181): 179–188. doi:10.2307/2007921.
• I. Gohberg, T. Kailath, V. Olshevsky (1995). “Fast Gaussian elimination with partial pivoting for matrices with displacement structure” (PDF). Mathematics of Computation. 64 (212): 1557–1576. doi:10.1090/s0025-5718-1995-1312096-x.
• P. G. Martinsson, M. Tygert, V. Rokhlin (2005). “An ${\displaystyle O(N\log ^{2}N)}$ algorithm for the inversion of general Toeplitz matrices” (PDF). Computers & Mathematics with Applications. 50: 741–752. doi:10.1016/j.camwa.2005.03.011.
• S. Schechter (1959). “On the inversion of certain matrices” (PDF). Mathematical Tables and Other Aids to Computation. 13 (66): 73–77. doi:10.2307/2001955.