Phân số đơn vị

Một phân số đơn vị là một số hữu tỷ viết như là một phân số mà tử số là một và mẫu số  là một số nguyên dương. Một phân số đơn vị do đó là đối ứng của một số nguyên dương, 1/n. Ví dụ là 1/1, 1/2, 1/3, 1/4,1/5, v.v...

Số học cơ sở

Nhân bất kỳ hai phân số đơn vị sẽ được một phân số đơn vị:

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.}$

Tuy nhiên, cộng, trừ, hoặc chia hai phân số đơn vị sẽ có kết quả nói chung là không phải một phân số đơn vị:

${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {y-x}{xy}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.}$

Số học đồng dư

Các phân số đơn vị đóng một vai trò quan trọng trong số học đồng dư, vì chúng có thể được sử dụng để thay việc chia đồng dư tới việc tính ước số chung lớn nhất. Cụ thể, giả sử rằng chúng ta muốn thực hiện phép chia theo một giá trị x, đồng dư y. Để việc chia x trong đồng dư y, x và y buộc phải nguyên tố cùng nhau. Sau đó bằng cách sử dụng giải thuật Euclid mở rộng cho ước số chung lớn nhất chúng ta có thể tìm ra a và b thỏa mãn

${\displaystyle \displaystyle ax+by=1,}$

từ đó suy ra

${\displaystyle \displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y}},}$

tương đương với

${\displaystyle a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.}$

Do vậy để chia x (mod y) chúng ta chỉ cần thực hiện phép nhân với a.

Tổng hữu hạn của các phân số đơn vị

Bất kỳ số hữu tỷ dương nào đều có thể được viết bằng tổng các phân số đơn vị theo nhiều cách. Ví dụ,

${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.}$

Các nền văn minh Ai Cập cổ đại đã sử dụng tổng số các phân số đơn vị riêng biệt trong ký hiệu của họ để mô tả số hữu tỉ, và do đó các tổng phân số như vậy thường được gọi là phân số Ai Cập. Hiện nay vẫn còn mối quan tâm đến việc phân tích các phương pháp được sử dụng bởi người xưa để lựa chọn giữa các biểu diễn có thể cho một số phân số, và để tính toán với các phép biểu diễn như vậy.^[1] Chủ đề của các phân số Ai Cập cũng đã được quan tâm trong lý thuyết số hiện đại; ví dụ, giả thuyết Erdős-Graham và giả thuyết Erdős-Straus liên quan đến các tổng của các phân số đơn vị, cũng như định nghĩa số hài hòa của Ore.

Trong lý thuyết nhóm hình học, các nhóm tam giác được phân loại thành các trường hợp Euclide, hình cầu, và hyperbolic theo tiêu chí của tổng các phân số đơn vị là bằng một, lớn hơn một, hoặc nhỏ hơn một.

Tham khảo

1. Guy, Richard K. (2004), “D11. Egyptian Fractions”, Unsolved problems in number theory (ấn bản thứ 3), Springer-Verlag, tr. 252–262, ISBN 978-0-387-20860-2

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., "Unit Fraction", MathWorld.