Phương trình Erdős–Moser

Vấn đề mở trong toán học: Phương trình Erdős–Moser có nghiệm nguyên nào khác ngoài ${\displaystyle 1^{1}+2^{1}=3^{1}}$ không? (các vấn đề mở khác trong toán học)

Trong lý thuyết số, phương trình Erdős–Moser là

${\displaystyle 1^{k}+2^{k}+\cdots +m^{k}=(m+1)^{k}}$

với ${\displaystyle m}$ và ${\displaystyle k}$ là các nguyên dương. Nghiệm duy nhất được biết là 1¹ + 2¹ = 3¹, và Paul Erdős đặt ra giả thuyết rằng không nghiệm nguyên nào khác tồn tại.

Các giới hạn trên lời giải

Leo Moser trong 1953 đã chứng minh rằng 2 là ước của k và không có nghiệm nào cho m < 10^1,000,000.

Trong 1966, ta chứng minh được rằng 6 ≤ k + 2 < m < 2k.

Trong 1994, ta tìm được rằng lcm(1,2,...,200) là ước của k và bất cứ ước nguyên tố của m + 1 đều phải bất chính quy và > 10000.

Phương pháp của Moser được mở rộng thêm trong 1999 để chứng tỏ rằng m > 1.485 × 10^9,321,155.

Trong 2002, mọi số nguyên tố nằm giữa 200 và 1000 phải là ước của k.

Trong 2009, ta tìm thêm được rằng 2k / (2m – 3) bằng với hội tụ phân số của ln(2); Tính giá trị ln(2) cho thấy m > 2.7139 × 10^{1,667,658,416}.

Tham khảo

• Gallot, Yves; Moree, Pieter; Zudilin, Wadim (2010). “The Erdős–Moser Equation 1^k + 2^k + ... + (m – 1)^k = m^k Revisited Using Continued Fractions”. Mathematics of Computation (bằng tiếng Anh). 80: 1221–1237. doi:10.1090/S0025-5718-2010-02439-1. S2CID 16305654. Truy cập ngày 20 tháng 3 năm 2017.
• Moser, Leo (1953). “On the Diophantine Equation 1^k + 2^k + ... + (m – 1)^k = m^k”. Scripta Math. (bằng tiếng Anh). 19: 84–88.
• Butske, W.; Jaje, L.M.; Mayernik, D.R. (1999). “The Equation Σ_p|N 1/p + 1/N = 1, Pseudoperfect Numbers, and Partially Weighted Graphs”. Math. Comp. (bằng tiếng Anh). 69: 407–420. doi:10.1090/s0025-5718-99-01088-1. Truy cập ngày 20 tháng 3 năm 2017.
• Krzysztofek, B. (1966). “The Equation 1ⁿ + ... + mⁿ = (m + 1)ⁿ”. Wyz. Szkol. Ped. W. Katowicech-Zeszyty Nauk. Sekc. Math. (bằng tiếng Ba Lan). 5: 47–54.
• Moree, Pieter; te Riele, Herman; Urbanowicz, J. (1994). “Divisibility Properties of Integers x, k Satisfying 1^k + 2^k + ... + (x – 1)^k = x^k”. Math. Comp. (bằng tiếng Anh). 63: 799–815. Truy cập ngày 20 tháng 3 năm 2017.