Số nguyên tố chính quy

Vấn đề mở trong toán học: Liệu có vô số số nguyên tố chính quy? Và nếu đúng thì có phải mật độ của nó bằng với ${\displaystyle e^{-1/2}}$? (các vấn đề mở khác trong toán học)

Trong lý thuyết số, số nguyên tố chính quy là một loại đặc biệt của số nguyên tố, được định nghĩa bởi Ernst Kummer trong 1850 để chứng minh một số trường hợp của định lý lớn Fermat. Số nguyên tố chính quy có thể định nghĩa qua tính chia hết của số lớp hoặc của số Bernoulli.

Các số nguyên tố chính quy đầu tiên là:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107, 109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, ... (dãy số A007703 trong bảng OEIS).

Lịch sử và động lực

Trong 1850, Kummer đã chứng minh rằng định lý lớn Fermat đúng với số mũ là lũy thừa của p nếu p chính quy. Do đó đưa sự chú ý vào các số nguyên tố chính quy.^[1] Trong 1852, Genocchi chứng minh được thêm rằng trường hợp đầu tiên của định lý lớn Fermat đúng cho số nguyên tố p, khi (p, p − 3) không phải cặp số phi chính quy. Kummer cải tiến thêm vào 1857 rằng đối với "trường hợp đầu" của định lý lớn Fermat (xem định lý Sophie Germain), ta đủ để chứng minh rằng hoặc (p, p − 3) hoặc (p, p − 5) không phải cặp phi chính quy.

Kummer tìm được các số nguyên tố phi chính quy cho tới 165. Trong 1963, Lehmer tăng giới hạn lên 10000 , sau đó Selfridge và Pollack báo cáo trong 1964 đã hoàn thành bảng các số nguyên tố phi chính quy lên tới 25000. Mặc dù hai bản sau không được in ra giấy, Johnson tìm ra rằng (p, p − 3) là cặp số phi chính quy với p = 16843 và đây là trường hợp duy nhất cho p < 30000.^[2] Ta tìm được thêm một số khác vào năm 1993 với p = 2124679; xem thêm số nguyên tố Wolstenholme.^[3]

Định nghĩa

Định nghĩa bằng số lớp

Số nguyên tố lẻ p là số nguyên tố chính quy nếu nó không phải là ước của số lớp của trường cyclotomic thứ p :Q(ζ_p), với ζ_p là căn đơn vị nguyên thủy thứ p, danh sách các số được liệt kê trong  A000927. Số 2 cũng được coi là số nguyên tố chính quy

Số lớp của trường cyclotomic là số các ideal của vành số nguyên Z(ζ_p) xê xích tương đương. Hai ideal I, J được gọi là tương đương nhau nếu tồn tại u khác không thuộc Q(ζ_p) sao cho I = uJ.

Định nghĩa theo Kummer

Ernst Kummer (Kummer 1850) đưa ra một định nghĩa tương đương khác rằng p chính quy khi và chỉ khi p không phải là ước của bất kỳ số Bernoulli B_k với k = 2, 4, 6, ..., p − 3.

Bài chứng minh của Kummer rằng định nghĩa này tương đương với định nghĩa bằng số lớp được gia cố thêm bằng định lý Herbrand–Ribet

Giả thuyết Siegel

Hiện đang có giả thuyết rằng có vô hạn số nguyên tố chính quy. Và chính xác hơn thì Carl Ludwig Siegel (1964) giả thuyết thêm rằng khoảng e^−1/2, hay khoảng 60.65% của tất cả các số nguyên tố là số nguyên tố chính quy theo ngôn ngữ tiệm cận với mật độ tự nhiên. Hiện giờ chưa có giả thuyết nào được chứng minh.

Số nguyên tố phi chính quy

Số nguyên tố lẻ không chính quy được gọi là số nguyên tố phi chính quy (hay B-phi chính quy để phân biệt với các dạng phi chính quy bên dưới). Một số số nguyên tố phi chính quy đầu tiên là:

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491, 523, 541, 547, 557, 577, 587, 593, ... (dãy số A000928 trong bảng OEIS)

Tính vô hạn

K. L. Jensen (một học trò của Nielsen^[4]) trong 1915 đã chứng minh được rằng có vô số số nguyên tố phi chính quy dưới dạng 4n + 3. ^[5] Trong 1954 Carlitz đưa ra kết quả yếu hơn rằng nhìn chung có vô số nguyên tố phi chính quy.^[6]

Metsänkylä chứng minh rằng với bất kỳ số nguyên T > 6, có vô số số nguyên tố phi chính quy không nằm dưới dạng mT + 1 hay mT − 1,^[7] sau này tổng quát thêm.^[8]

Cặp số phi chính quy

Nếu p là số nguyên tố phi chính quy và p là ước của số Bernoulli B_2k cho 0 < 2k < p − 1, thì (p, 2k) được gọi là cặp phi chính quy. Nói cách khác, cặp số này được dùng để kiểm tra xem với số nguyên tố p, xem chỉ số của số Bernoulli mà tại đó mất tính chính quy. Các cặp đầu tiên (xếp thứ tự bởi k) là:

(691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), (2294797, 24), (657931, 26), (9349, 28), (362903, 28), ... (dãy số A189683 trong bảng OEIS).

Các số k chẵn nhỏ sao cho số nguyên tố phi chính quy thứ n là ước của B_k là

32, 44, 58, 68, 24, 22, 130, 62, 84, 164, 100, 84, 20, 156, 88, 292, 280, 186, 100, 200, 382, 126, 240, 366, 196, 130, 94, 292, 400, 86, 270, 222, 52, 90, 22, ... (dãy số A035112 trong bảng OEIS)

Đối với số nguyên tố p, số các cặp chứa p được gọi là chỉ số phi chính quy của p.^[9] Do đó, số nguyên tố được gọi là chính quy khi chỉ số phi chính quy của nó bằng không. Tương tự như vậy, số nguyên tố phi chính quy khi chỉ số phi chính quy của nó dương.

Ta phát hiện ra rằng (p, p − 3) là cặp phi chính quy cho p = 16843 và p = 2124679. Không có p nào khác cho p < 10⁹.

Chỉ số phi chính quy

Số nguyên tố p có chỉ số phi chính quy n khi và chỉ khi có n giá trị k thỏa mãn p là ước của B_2k và các giả trị k này đều nhỏ hơn (p − 1)/2. Số nguyên tố lẻ đầu tiên có chỉ số phi chính quy lớn hơn 1 là số 157, là ước của B₆₂ và B₁₁₀, nên nó có chỉ số bằng 2. Chỉ số của số nguyên tố chính quy bằng 0.

Dãy chỉ số phi chính quy của số nguyên tố thứ n là

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, ... (Bắt đầu với n = 2, hoặc p = 3) (dãy số A091888 trong bảng OEIS)

Dãy chỉ số phi chính quy của số nguyên tố phi chính quy thứ n là

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, ... (dãy số A091887 trong bảng OEIS)

Các số nguyên tố với chỉ số phi chính quy bằng 1 là

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 523, 541, 557, 577, 593, 607, 613, 619, 653, 659, 677, 683, 727, 751, 757, 761, 773, 797, 811, 821, 827, 839, 877, 881, 887, 953, 971, ... (dãy số A073276 trong bảng OEIS)

Các số nguyên tố với chỉ số phi chính quy bằng 2 là

157, 353, 379, 467, 547, 587, 631, 673, 691, 809, 929, 1291, 1297, 1307, 1663, 1669, 1733, 1789, 1933, 1997, 2003, 2087, 2273, 2309, 2371, 2383, 2423, 2441, 2591, 2671, 2789, 2909, 2957, ... (dãy số A073277 trong bảng OEIS)

Các số nguyên tố với chỉ số phi chính quy bằng 3 là

491, 617, 647, 1151, 1217, 1811, 1847, 2939, 3833, 4003, 4657, 4951, 6763, 7687, 8831, 9011, 10463, 10589, 12073, 13217, 14533, 14737, 14957, 15287, 15787, 15823, 16007, 17681, 17863, 18713, 18869, ... (dãy số A060975 trong bảng OEIS)

Các dạng tổng quát

Số nguyên tố phi chính quy Euler

Tương tự đối với các số Euler, ta định nghĩa số nguyên tố phi chính quy Euler (hay E-phi chính quy) là số nguyên tố p là ước của ít nhất một số Euler E_2n với 0 < 2n ≤ p − 3. Các số nguyên tố phi chính quy Euler đầu tiên là

19, 31, 43, 47, 61, 67, 71, 79, 101, 137, 139, 149, 193, 223, 241, 251, 263, 277, 307, 311, 349, 353, 359, 373, 379, 419, 433, 461, 463, 491, 509, 541, 563, 571, 577, 587, ... (dãy số A120337 trong bảng OEIS)

Dãy các cặp phi chính quy Euler là

(61, 6), (277, 8), (19, 10), (2659, 10), (43, 12), (967, 12), (47, 14), (4241723, 14), (228135437, 16), (79, 18), (349, 18), (84224971, 18), (41737, 20), (354957173, 20), (31, 22), (1567103, 22), (1427513357, 22), (2137, 24), (111691689741601, 24), (67, 26), (61001082228255580483, 26), (71, 28), (30211, 28), (2717447, 28), (77980901, 28), ...

Vandiver chứng minh rằng định lý lớn Fermat (x^p + y^p = z^p) không có nghiệm nguyên x, y, z với gcd(xyz, p) = 1 nếu p là số nguyên tố chính quy Euler. Gut chứng minh rằng x^2p + y^2p = z^2p không có nghiệm nguyên nếu p có chỉ số phi chính quy Euler nhỏ hơn 5.^[10]

Hiện đã chứng minh được rằng có vô hạn số nguyên tố phi chính quy Euler. Một kết quả mạnh hơn thu được như sau: có vô hạn số nguyên tố phi chính quy Euler đồng dư với 1 khi mô đun 8. Giống với trường hợp B-chính quy của Kummer, hiện vẫn chưa biết được liệu có vô số số nguyên tố chính quy Euler.

Số nguyên tố phi chính quy mạnh

Số nguyên tố p được gọi là phi chính quy mạnh nếu nó vừa B-phi chính quy và E-phi chính quy (chỉ số của số Bernoulli và số Euler chia hết cho p có thể bằng nhau hoặc khác nhau). Các số nguyên tố phi chính quy mạnh đầu tiên là

67, 101, 149, 263, 307, 311, 353, 379, 433, 461, 463, 491, 541, 577, 587, 619, 677, 691, 751, 761, 773, 811, 821, 877, 887, 929, 971, 1151, 1229, 1279, 1283, 1291, 1307, 1319, 1381, 1409, 1429, 1439, ... (dãy số A128197 trong bảng OEIS)

Chứng minh định lý lớn Fermat cho số nguyên tố phi chính quy mạnh p khó hơn nhiều (bởi Kummer đã chứng minh trước trường hợp đầu tiên của định lý lớn Fermat cho các số nguyên tố B-chính quy, và Vandiver chứng minh định lý lờn Fermat cho các số nguyên tố E-chính quy), điểm khó nhất gặp phải là không chỉ p là số nguyên tố phi chính quy mạnh, mà các số 2p + 1, 4p + 1, 8p + 1, 10p + 1, 14p + 1, và 16p + 1 còn đều là hợp số (Legendre chứng minh định lý lờn Fermat cho các số nguyên tố p thoả mãn ít nhất một trong các số 2p + 1, 4p + 1, 8p + 1, 10p + 1, 14p + 1, và 16p + 1 là số nguyên tố), các số nguyên tố p thoả mãn tính chất đó nằm trong dãy

263, 311, 379, 461, 463, 541, 751, 773, 887, 971, 1283, ...

Số nguyên tố phi chính quy yếu

Số nguyên tố p được gọi là phi chính quy yếu nếu nó không B-phi chính quy hoặc E-phi chính quy (hoặc không cả hai). Các số nguyên tố phi chính quy yếu đầu tiên là

19, 31, 37, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 101, 103, 131, 137, 139, 149, 157, 193, 223, 233, 241, 251, 257, 263, 271, 277, 283, 293, 307, 311, 347, 349, 353, 373, 379, 389, 401, 409, 419, 421, 433, 461, 463, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 571, 577, 587, 593, ... (dãy số A250216 trong bảng OEIS)

Giống với tính phi chính quy Bernoulli, phi chính quy yếu có quan hệ với tính chia hết của số lớp của trường cyclotomic. Cụ thể, số nguyên tố p phi chính quy yếu khi và chỉ khi p là ước của trường cyclotomic thứ 4p (tức trường Q(ζ_4p).

Cặp phi chính quy yếu

Trong đoạn dưới đây, lưu ý rằng "a_n" là tử số của số Bernoulli thứ n nếu n chẵn, và là số Euler thứ (n − 1) nếu n lẻ (dãy số A246006 trong bảng OEIS).

Bởi với mọi số nguyên tố lẻ p, p là ước của a_p khi và chỉ khi p đồng dư với 1 mô đun 4, và bởi vì p là ước của mẫu số của số Bernoulli thứ (p − 1) với mọi số nguyên tố lẻ p, nên cho bất kỳ số nguyên tố lẻ p, p không thể là ước của a_p−1. Bên cạnh đó, p là ước của a_n (và 2p không là ước của n) khi và chỉ khi p cũng là ước của a_n+k(p−1) (nếu 2p là ước của n, thì câu này phải đổi thành "p cũng là ước của a_n+2kp". Hơn nữa, nếu 2p là ước của n và p(p − 1) không phải là ước của n, thì p là ước của a_n.) cho mọi số nguyên k (cần điều kiện n + k(p − 1) > 1). Ví dụ chẳng hạn, bởi 19 là ước của a₁₁ và 2 × 19 = 38 không phải là ước của 11, nên 19 là ước của a_18k+11 với mọi k. Do đó, trong định nghĩa của cặp phi chính quy (p, n), giá trị n nên không quá p − 2.

Bảng sau liệt kê các cặp phi chính quy thoả mãn số nguyên tố lẻ p ≤ 661:

p	các số nguyên 0 ≤ n ≤ p − 2 sao cho p là ước của an	p	các số nguyên 0 ≤ n ≤ p − 2 sao cho p là ước của an	p	các số nguyên 0 ≤ n ≤ p − 2 sao cho p là ước của an	p	các số nguyên 0 ≤ n ≤ p − 2 sao cho p là ước của an	p	các số nguyên 0 ≤ n ≤ p − 2 sao cho p là ước của an	p	các số nguyên 0 ≤ n ≤ p − 2 sao cho p là ước của an
3		79	19	181		293	156	421	240	557	222
5		83		191		307	88, 91, 137	431		563	175, 261
7		89		193	75	311	87, 193, 292	433	215, 366	569
11		97		197		313		439		571	389
13		101	63, 68	199		317		443		577	52, 209, 427
17		103	24	211		331		449		587	45, 90, 92
19	11	107		223	133	337		457		593	22
23		109		227		347	280	461	196, 427	599
29		113		229		349	19, 257	463	130, 229	601
31	23	127		233	84	353	71, 186, 300	467	94, 194	607	592
37	32	131	22	239		359	125	479		613	522
41		137	43	241	211, 239	367		487		617	20, 174, 338
43	13	139	129	251	127	373	163	491	292, 336, 338, 429	619	371, 428, 543
47	15	149	130, 147	257	164	379	100, 174, 317	499		631	80, 226
53		151		263	100, 213	383		503		641
59	44	157	62, 110	269		389	200	509	141	643
61	7	163		271	84	397		521		647	236, 242, 554
67	27, 58	167		277	9	401	382	523	400	653	48
71	29	173		281		409	126	541	86, 465	659	224
73		179		283	20	419	159	547	270, 486	661

Các số nguyên tố dưới 1000 có chỉ số phi chính quy yếu bằng 3 là 307, 311, 353, 379, 577, 587, 617, 619, 647, 691, 751, và 929. Bên cạnh đó, 491 là số nguyên tố duy nhất dưới 1000 có chỉ số phi chính quy yếu bằng 4, và các số nguyên tố lẻ còn lại dưới 1000 có chỉ số phi chính quy yếu bằng 0, 1, hoặc 2. (Chỉ số phi chính yếu được định nghĩa là số các số nguyên 0 ≤ n ≤ p − 2 thoả mãn p là ước của a_n.)

Bảng sau liệt kê các cặp phi chính quy với n ≤ 63. (Để tìm ra các cặp này, ta chỉ cần phân tích thừa số của a_n. Lấy ví dụ, a₃₄ = 17 × 151628697551, nhưng 17 < 34 + 2, nên cặp phi chính quy duy nhất với n = 34 là (151628697551, 34)) (đối với các n chẵn lên tới 300 và các n lẻ lên tới 201, xem ^[11]).

n	các số nguyên tố p ≥ n + 2 sao cho p là ước của an	n	các số nguyên tố p ≥ n + 2 sao cho p là ước của an
0		32	37, 683, 305065927
1		33	930157, 42737921, 52536026741617
2		34	151628697551
3		35	4153, 8429689, 2305820097576334676593
4		36	26315271553053477373
5		37	9257, 73026287, 25355088490684770871
6		38	154210205991661
7	61	39	23489580527043108252017828576198947741
8		40	137616929, 1897170067619
9	277	41	763601, 52778129, 359513962188687126618793
10		42	1520097643918070802691
11	19, 2659	43	137, 5563, 13599529127564174819549339030619651971
12	691	44	59, 8089, 2947939, 1798482437
13	43, 967	45	587, 32027, 9728167327, 36408069989737, 238716161191111
14		46	383799511, 67568238839737
15	47, 4241723	47	285528427091, 1229030085617829967076190070873124909
16	3617	48	653, 56039, 153289748932447906241
17	228135437	49	5516994249383296071214195242422482492286460673697
18	43867	50	417202699, 47464429777438199
19	79, 349, 87224971	51	5639, 1508047, 10546435076057211497, 67494515552598479622918721
20	283, 617	52	577, 58741, 401029177, 4534045619429
21	41737, 354957173	53	1601, 2144617, 537569557577904730817, 429083282746263743638619
22	131, 593	54	39409, 660183281, 1120412849144121779
23	31, 1567103, 1427513357	55	2749, 3886651, 78383747632327, 209560784826737564385795230911608079
24	103, 2294797	56	113161, 163979, 19088082706840550550313
25	2137, 111691689741601	57	5303, 7256152441, 52327916441, 2551319957161, 12646529075062293075738167
26	657931	58	67, 186707, 6235242049, 37349583369104129
27	67, 61001082228255580483	59	1459879476771247347961031445001033, 8645932388694028255845384768828577
28	9349, 362903	60	2003, 5549927, 109317926249509865753025015237911
29	71, 30211, 2717447, 77980901	61	6821509, 14922423647156041, 190924415797997235233811858285255904935247
30	1721, 1001259881	62	157, 266689, 329447317, 28765594733083851481
31	15669721, 28178159218598921101	63	101, 6863, 418739, 1042901, 91696392173931715546458327937225591842756597414460291393

Bảng sau liệt kê các cặp phi chính quy (p, p − n) (n ≥ 2), hiện ta đang phỏng đoán rằng có vô hạn cặp phi chính quy (p, p − n) với mọi số tự nhiên n ≥ 2, nhưng mới chỉ một ít được tìm thấy khi cố định n và thậm chí còn có một số giá trị của n vẫn chưa tìm thấy số nguyên tố p đi kèm.

n	Số nguyên tố p sao cho p là ước của ap−n (các giá trị p được kiểm tra lên tới 20000)	Dãy OEIS
2	149, 241, 2946901, 16467631, 17613227, 327784727, 426369739, 1062232319, ...	A198245
3	16843, 2124679, ...	A088164
4	...
5	37, ...
6	...
7	...
8	19, 31, 3701, ...
9	67, 877, ...	A212557
10	139, ...
11	9311, ...
12	...
13	...
14	...
15	59, 607, ...
16	1427, 6473, ...
17	2591, ...
18	...
19	149, 311, 401, 10133, ...
20	9643, ...
21	8369, ...
22	...
23	...
24	17011, ...
25	...
26	...
27	...
28	...
29	4219, 9133, ...
30	43, 241, ...
31	3323, ...
32	47, ...
33	101, 2267, ...
34	461, ...
35	...
36	1663, ...
37	...
38	101, 5147, ...
39	3181, 3529, ...
40	67, 751, 16007, ...
41	773, ...

Xem thêm

• Số nguyên tố Wolstenholme

Tham khảo

1. Gardiner, A. (1988), “Four Problems on Prime Power Divisibility”, American Mathematical Monthly, 95 (10): 926–931, doi:10.2307/2322386, JSTOR 2322386
2. Johnson, W. (1975), “Irregular Primes and Cyclotomic Invariants”, Mathematics of Computation, 29 (129): 113–120, doi:10.2307/2005468, JSTOR 2005468
3. Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1993). “Irregular primes and cyclotomic invariants to four million”. Math. Comp. 61 (203): 151–153. Bibcode:1993MaCom..61..151B. doi:10.1090/s0025-5718-1993-1197511-5.
4. Leo Corry: Number Crunching vs. Number Theory: Computers and FLT, from Kummer to SWAC (1850–1960), and beyond
5. Jensen, K. L. (1915). “Om talteoretiske Egenskaber ved de Bernoulliske Tal”. NYT Tidsskr. Mat. B 26: 73–83. JSTOR 24532219.
6. Carlitz, L. (1954). “Note on irregular primes” (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. AMS. 5 (2): 329–331. doi:10.1090/S0002-9939-1954-0061124-6. ISSN 1088-6826. MR 0061124.
7. Tauno Metsänkylä (1971). “Note on the distribution of irregular primes”. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I. 492. MR 0274403.
8. Tauno Metsänkylä (1976). “Distribution of irregular prime numbers”. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1976 (282): 126–130. doi:10.1515/crll.1976.282.126. S2CID 201061944.
9. Narkiewicz, Władysław (1990), Elementary and analytic theory of algebraic numbers (ấn bản thứ 2), Springer-Verlag; PWN-Polish Scientific Publishers, tr. 475, ISBN 3-540-51250-0, Zbl 0717.11045
10. “The Top Twenty: Euler Irregular primes”. primes.utm.edu. Truy cập ngày 21 tháng 7 năm 2021.
11. “Bernoulli and Euler numbers”. homes.cerias.purdue.edu. Truy cập ngày 21 tháng 7 năm 2021.

Đọc thêm

• Kummer, E. E. (1850), “Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung x^λ + y^λ = z^λ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ−3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen”, J. Reine Angew. Math., 40: 131–138
• Siegel, Carl Ludwig (1964), “Zu zwei Bemerkungen Kummers”, Nachrichten der Akademie der Wissenschaften in Göttingen, 1964: 51–57, MR 0163899
• Iwasawa, K.; Sims, C. C. (1966), “Computation of invariants in the theory of cyclotomic fields”, Journal of the Mathematical Society of Japan, 18 (1): 86–96, doi:10.2969/jmsj/01810086
• Wagstaff, Jr., S. S. (1978), “The Irregular Primes to 125000”, Mathematics of Computation, 32 (142): 583–591, doi:10.2307/2006167, JSTOR 2006167
• Granville, A.; Monagan, M. B. (1988), “The First Case of Fermat's Last Theorem is True for All Prime Exponents up to 714,591,416,091,389”, Transactions of the American Mathematical Society, 306 (1): 329–359, doi:10.1090/S0002-9947-1988-0927694-5, MR 0927694
• Gardiner, A. (1988), “Four Problems on Prime Power Divisibility”, American Mathematical Monthly, 95 (10): 926–931, doi:10.2307/2322386, JSTOR 2322386
• Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1991), “Cyclotomic Invariants for Primes Between 125000 and 150000”, Mathematics of Computation, 56 (194): 851–858, doi:10.2307/2008413, JSTOR 2008413
• Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1992), “Cyclotomic Invariants for Primes to One Million” (PDF), Mathematics of Computation, 59 (199): 249–250, doi:10.2307/2152994, JSTOR 2152994
• Buhler, J. P.; Crandall, R. E.; Sompolski, R. W. (1992), “Irregular Primes to One Million”, Mathematics of Computation, 59 (200): 717–722, doi:10.2307/2153086, JSTOR 2153086
• Boyd, D. W. (1994), “A p-adic Study of the Partial Sums of the Harmonic Series”, Experimental Mathematics, 3 (4): 287–302, doi:10.1080/10586458.1994.10504298, Zbl 0838.11015
• Shokrollahi, M. A. (1996), Computation of Irregular Primes up to Eight Million (Preliminary Report), ICSI Technical Report, TR-96-002, Bản gốc lưu trữ ngày 14 tháng 6 năm 2007, truy cập ngày 26 tháng 7 năm 2022
• Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsänkylä, T.; Shokrollahi, M.A. (2001), “Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to 12 Million”, Journal of Symbolic Computation, 31 (1–2): 89–96, doi:10.1006/jsco.1999.1011
• Richard K. Guy (2004), “Section D2. The Fermat Problem”, Unsolved Problems in Number Theory (ấn bản thứ 3), Springer Verlag, ISBN 0-387-20860-7
• Villegas, F. R. (2007), Experimental Number Theory, New York: Oxford University Press, tr. 166–167, ISBN 978-0-19-852822-7

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., "Irregular prime", MathWorld.
• Chris Caldwell, The Prime Glossary: regular prime at The Prime Pages.
• Keith Conrad, Fermat's last theorem for regular primes.
• Bernoulli irregular prime
• Euler irregular prime
• Bernoulli and Euler irregular primes.
• Factorization of Bernoulli and Euler numbers
• Factorization of Bernoulli and Euler numbers