Phủ (tô pô)

Đối với các định nghĩa khác, xem Phủ (định hướng).

Trong toán học, một phủ của một tập hợp ${\displaystyle X}$ là một họ các tập con có hợp chứa ${\displaystyle X}$ như là một tập con.^[1] Hay nói cách khác, nếu

${\displaystyle C=\left\{U_{i}:i\in I\right\}}$

là một họ đánh chỉ số của các tập ${\displaystyle U_{i}}$, thì ${\displaystyle C}$ là một phủ của ${\displaystyle X}$ nếu

${\displaystyle X\subseteq \bigcup _{i\in I}U_{i}}$

Phủ trong tô pô

Phủ thường được dùng trong tô pô. Nếu tập ${\displaystyle X}$ là một không gian topo, thì một phủ ${\displaystyle C}$ của ${\displaystyle X}$ là một họ các tập con ${\displaystyle U_{i}}$ của ${\displaystyle X}$ có hợp là toàn bộ ${\displaystyle X}$. Trong trường hợp này ta nói ${\displaystyle C}$ phủ ${\displaystyle X}$, hay là các tập ${\displaystyle U_{i}}$ phủ ${\displaystyle X}$.^[1] Tương tự, nếu ${\displaystyle Y}$ là tập con của ${\displaystyle X}$, thì một phủ của ${\displaystyle Y}$ là một họ các tập con của ${\displaystyle X}$ có hợp chứa ${\displaystyle Y}$, hay ${\displaystyle C}$ là phủ của ${\displaystyle Y}$ nếu

${\displaystyle Y\subseteq \bigcup _{i\in I}U_{i}}$

Cho ${\displaystyle C}$ là một phủ của không gian tô pô ${\displaystyle X}$. Một phủ con của ${\displaystyle C}$ là một tập con của ${\displaystyle C}$ mà vẫn phủ ${\displaystyle X}$.^[1]

Ta nói rằng ${\displaystyle C}$ là một phủ mở nếu mỗi thành phần của nó là một tập mở (mỗi ${\displaystyle U_{i}}$ chứa trong ${\displaystyle \tau }$, với ${\displaystyle \tau }$ là tô pô trên ${\displaystyle X}$).^[2]

Phủ con

${\displaystyle D=\{V_{\beta \in B}\}\;{\text{là một phủ con của}}\;C=\{U_{\alpha \in A}\}\;{\text{nếu}}\;\forall \beta \ \exists \alpha \ V_{\beta }=U_{\alpha }}$.^[3]

Làm mịn

Một mịn hóa của một phủ C của một không gian tô-pô X là một phủ D của X sao cho mọi tập hợp của D được bao hàm trong một tập hợp nào đó của C.^[4] Tức là,

${\displaystyle D=\{V_{\beta \in B}\}\;{\text{là một mịn hoá của}}\;C=\{U_{\alpha \in A}\}\;{\text{nếu}}\;\forall \beta \ \exists \alpha \ V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }}$.

Nói cách khác, tồn tại một ánh xạ làm mịn ${\displaystyle \phi :B\rightarrow A}$ thỏa mãn ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}}$ với mọi ${\displaystyle \beta \in B}$. Ánh xạ này được sử dụng để tính đối đồng điều Čech của X.^[5]

Một phủ con là một mịn hóa. Tuy nhiên một mịn hóa không nhất thiết phải là một phủ con.

Tham khảo

1. ^ Manetti (2014), tr. 71, Definition 4.30
2. Manetti (2014), tr. 71, Definition 4.31
3. Manetti (2014), tr. 71, Definition 4.30
4. Manetti (2014), tr. 134, Definition 7.12
5. Bott; Tu (1982), tr. 111

Thư mục

• Bott, Raoul; Tu, Loring, 1982, Differential Forms in Algebraic Topology, ISBN 9781441928153
• Manetti, Marco, 2014, Topology, ISBN 978-3-319-16958-3