Số Lebesgue

Trong tô pô, bổ đề số Lebesgue là công cụ hữu dụng trong không gian mêtric compact. Bổ đề nói rằng:

Cho ${\displaystyle A}$ là phủ mở của không gian mêtric ${\displaystyle (X,d)}$. Nếu ${\displaystyle X}$ là compact, thì có ${\displaystyle \varepsilon >0}$ sao cho với mỗi quả cầu bán kính ${\displaystyle \varepsilon }$ thì chứa trong một thành phần của ${\displaystyle A}$.

Chứng minh

Với mỗi ${\displaystyle x\in X}$ có một tập mở ${\displaystyle U_{x}\in A}$ chứa ${\displaystyle x}$. Có một số ${\displaystyle \varepsilon _{x}>0}$ sao cho quả cầu ${\displaystyle B(x,2\varepsilon _{x})}$ chứa trong ${\displaystyle U_{x}}$. Họ

${\displaystyle \left\{B(x,\varepsilon _{x})|x\in X\right\}}$

là phủ mở của ${\displaystyle X}$, nên có phủ con hữu hạn

${\displaystyle \left\{B(x_{i},\varepsilon _{i})|1\leq i\leq n\right\}}$.

Đặt

${\displaystyle \varepsilon =\min \left\{\varepsilon _{i}|1\leq i\leq n\right\}}$.

Giả sử rằng ${\displaystyle y\in B(x,\varepsilon )}$. Khi đó có ${\displaystyle i_{0},1\leq i_{0}\leq n}$, sao cho ${\displaystyle x\in B(x_{i_{0}},\varepsilon _{i_{0}})}$. Ta có

${\displaystyle d(y,x_{i_{0}})\leq d(y,x)+d(x,x_{i_{0}})<\varepsilon +\varepsilon _{i_{0}}\leq 2\varepsilon _{i0}.}$

Điều này dẫn đến ${\displaystyle y}$ nằm trong thành phần ${\displaystyle U_{x_{i_{0}}}}$ của ${\displaystyle A}$, và ${\displaystyle B(x,\varepsilon )}$ chứa trong ${\displaystyle U_{x_{i_{0}}}}$.

Tham khảo

• James Munkres (2000), Topology, Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2.

Tham khảo