Friedrich August wurde 1797 als Kind seines gleichnamigen Vaters und seiner Mutter Dorothea Wagner in Meiningen geboren. Friedrich August der Ältere war seit 1796 Oboist an der Meininger Hofkapelle und erhielt etwa 1797/98 eine Anstellung an der heute noch bestehenden Hofkapelle in Dresden. Die Familie zog dorthin um, und Friedrich August wurde zunächst, wie sein Vater, Oboist, interessierte sich dann jedoch auch für das Violoncello. Er studierte bei den angesehenen Cellisten Friedrich Dotzauer und vermutlich auch bei Bernhard Romberg.
1814 wurde er vorläufig als Oboist in die Dresdner Hofkapelle aufgenommen, da gerade keine Cellisten benötigt wurden. Im selben Jahr berief Carl Maria von Weber Kummer als Cellisten an das Königliche Opernhaus.
1817 wurde Kummer Cellist in der Hofkapelle, und 1850 wurde er als Erster Solocellist mit dem Titel „Königlich-sächsischer Kammervirtuose“ berufen, nachdem Dotzauer in den Ruhestand getreten war. Kummer selbst trat im Jahr 1864 in den Ruhestand.
Am Dresdner Konservatorium wirkte Kummer von dessen Gründung 1856 bis zu seinem Tod 1879, also auch nach seinem Ausscheiden aus der Hofkapelle. Zu seinen Schülern gehörten seine Söhne Ernst und Max sowie die Cellisten Julius Goltermann, Bernhard Cossmann, Ferdinand Thieriot, Richard Bellman und Ferdinand Bochmann.
Zu Lebzeiten war Friedrich August Kummer bekannt als Kammermusiker und Solo-Cellist. Er komponierte außerdem und schrieb 1839 eine Violoncelloschule für den ersten Unterricht, op. 60, welche bis heute populär ist. Kummer verstarb 1879 in Dresden und wurde auf dem Alten Katholischen Friedhof beigesetzt. Das Grab ist nicht erhalten.[1]