Naceu no Hospital de Basurto de Bilbao, de pai vigués, e criouse en Castro Urdiales desde os cinco anos.[1] Nesta localidade cántabra comezou a formarse ata que en 2002 iniciou a súa formación en equipos de Biscaia.[2][3] Primeiro pasou pola canteira do Sestao River e, tras unha tempada, entrou na canteira do Danok Bat bilbaíno, onde permaneceu dúas tempadas.[4][5] En 2005 fichou polo equipo xuvenil do Athletic Club e, á tempada seguinte, ascendeu ao segundo filial do Athletic, o Basconia. No segundo filial estivo media tempada, disputando a outra metade de tempada no Barakaldo. O club cedeuno, en xaneiro de 2007, como parte do traspaso de Unai Alba ao Athletic Club. Na tempada 2007-08, subiu ao Bilbao Athletic. Na súa primeira tempada compartiu os minutos con Raúl Fernández, co que xa coincidira no Basconia e no xuvenil. Tras a marcha deste foi o porteiro titular do filial nas seguintes dúas tempadas, chegando a participar na pre tempada do primeiro equipo.[6]
En 2010 decidiu non renovar co Athletic, xa que non contaba coa confianza do adestrador Joaquín Caparrós.[7] O técnico andaluz apostou pola volta de Raúl tras a retirada de Armando para ascender ao primeiro equipo. Finalmente decidiu aceptar a oferta que lle presentou José María Amorrortu para asinar polo Atlético de Madrid B, onde completou dúas tempadas como titular e algunha convocatoria co primeiro equipo.[8] Mesmo, o 8 de xaneiro de 2011, foi capaz de marcar un gol ao Xetafe B cun disparo desde a súa portaría.[9][10]
En xullo de 2012 a dirección deportiva do Athletic Club, encabezada por Amorrortu, decidiu ofrecerlle un contrato de dúas tempadas para que regresase despois de non renovar o seu anterior contrato co club madrileño. Con todo, inmediatamente saíu cedido ao CD Numancia, onde foi titular por diante de Biel Ribas.[11] En 2013, coa chegada de Ernesto Valverde, incorporouse definitivamente ao Athletic e foi Raúl o que marchou ao club soriano.[12][13]
O 23 de agosto de 2013, con Iraizoz lesionado, debutou como porteiro do Athletic Club nun triunfo contra Osasuna (2-0).[14] O partido xogouse en Anoeta porque o novo estadio de San Mamés non estaba aínda dispoñible. Tamén foi titular no primeiro partido do novo estadio, disputado o 16 de setembro, ante o Celta de Vigo (3-2).[15] Na súa primeira tempada, Ernesto Valverde apostou por darlle a titularidade na Copa e optou por Iraizoz para a liga. Na súa segunda tempada, ademais de na Copa, foi o elixido para disputar os partidos da Europa League.[16] O 30 de maio xogou a final da Copa do Rei, onde, a pesar de render a gran nivel, acabou con derrota por 3-1 ante o FC Barcelona.[17] A súa actuación en semifinais, ante o RCD Espanyol, fora decisiva para chegar á final.[18] O 17 de agosto conseguiu o seu primeiro título, a Supercopa de España, aínda que non disputou ningún dos dous partidos.[19] Finalizou a tempada 2015-16 disputando 24 partidos, 16 deles de Europa League. Foi un dos mellores xogadores do equipo durante toda a competición europea.[20] Nos oitavos de final, ante o Valencia, realizou unha intervención decisiva a Paco Alcácer nos minutos finais.[21] En cuartos de final, ante o Sevilla, foi elixido no once ideal da xornada, aínda que non puido deter ningún lanzamento na quenda de penaltis.[22] Na tempada 2016-17, a competencia aumentou coa chegada de Kepa Arrizabalaga. Finalmente, foi elixido como titular na Europa League.[23]
Coa chegada de Ziganda ao banco, foi elixido para ser titular na Europa League 2017-18, onde tivo boas actuacións.[30][31][32] O 16 de decembro xogou o seu primeiro derbi vasco contra a Real Sociedade por lesión de Kepa.[33] O 10 de xaneiro anunciouse a súa renovación ata 2021, en boa parte, debido ás grandes actuacións que estaba asinando na Liga e na Europa League.[34][35][36] O 19 de xaneiro detivo o seu primeiro penalti co equipo vasco, tras un disparo de Jorge Molina no coliseo Alfonso Pérez.[37]
Un día despois da marcha de Kepa ao Chelsea, o 9 de agosto, sufriu unha lesión muscular no brazo dereito que lle impediu participar nos dous primeiros meses de competición.[38] O 21 de outubro regresou á aliñación tras recuperarse da lesión, sendo decisivo no empate visitante ante o SD Eibar (1-1). [39] Tras a destitución de Berizzo un mes despois, Garitano mantívoo no once por diante de Unai Simón.[40] O 7 de xaneiro de 2019 asinou unha asistencia de gol, que completou Iñaki Williams, para darlle a vitoria ao equipo por 1 a 2 en Balaídos.[41] O 3 de marzo, Rodrigo puxo fin á súa racha de 363 minutos sen encaixar ningún gol.[42] O 16 de marzo xogou o seu centésimo partido como porteiro do equipo bilbaíno na vitoria ante o Atlético de Madrid (2-0).[43] Na tempada 2019/20 perdeu a titularidade fronte a Unai Simón, que se converteu no primeiro porteiro do equipo a partir de entón. Disputou o seu último partido co club vasco o 19 de xullo de 2020, contra o Granada no Nuevo Los Cármenes, e non dispuxo de ningún minuto na campaña seguinte.
No verán de 2021, despois de acabar o seu contrato co Athletic, fichou polo Al Raed FC, da Liga Profesional Saudita, co que disputou 13 partidos de liga.[44] En xuño de 2022 chegou a un acordo co club para a rescisión do seu contrato.[45]
En setembro de 2022 asinou contrato co Valencia, club que viña de perder a un dos seus porteiros, Jaume Doménech, por mor dunha lesión de longa duración.[46]