Костоски бил член на младинските екипи на Работнички до 2004 година. Потоа, за сезоната 2004/05, Костоски бил примен, во младинците до 20 години, во францускиот клуб По Ортез. Следната сезона тој бил префрлен во младинците до 21 година на По Ортез.
Во сезоната 2007/08, паралелно со сениорите на Гравелине, Александар Костоски играл и за младинците до 21 година на тој клуб.
За сезоната 2006/07, Костоски се вратил во Фершпед Работнички, со кој станал вицепрвак во Првенството. Сезоната 2007/08 ја поминал повторно во Франција, овојпат во Гравелине, каде одиграл неколку натпревари во француската лига, вклучувајќи го и ФИБА ЕвроКупот. За сезоната 2008/09, Костоски повторно се вратил во Македонија и потпишал за Вардар. Таму не останал долго и во февруари 2009 година, Костоски го напуштил Вардар и се преселил во романски Брашов.[1]
Во јули 2013 година, Александар потпишал двегодишен договор со МЗТ Аеродром.[2][3] Во сезоната 2013/14, во тимот на МЗТ Аеродром, Костоски одиграл 14 натпревари во Јадранската АБА лига, каде имал просек од 5,1 бода, 1,7 скока и 2,5 асистенции. Во Еврокупот, на 10 натпревари, тој имал просек од 7,8 бода, 1,1 скока и 2,5 асистенции, а во македонското првенство одиграл 15 натпревари на кои имал просек од 3,5 бода, 1,3 скока и 1,6 асистенции. По една сезона помината во МЗТ Аеродром, Александар Костоски како позајмен играч се вратил во КК Куманово, каде претходно играл од 2011 до 2013 година.[4][5] Со Куманово во 2015 година, станал вицепрвак во Првенството каде во финалето загубиле од МЗТ Аеродром.[6][7]Следната сезона тој повторно бил вицепрвак со Куманово, повторно губејќи од МЗТ во финалето. За сезоната 2016/17, Костоски ја продолжил соработката со Куманово 2009.[8][9] Во декември 2016 година, Костоски потпишал за романски Питешти.[10][11] Во јуни 2017 година, тој потпишал нов едногодишен договор со Питешти.[12] За сезоната 2018/19, Костоски се вратил во Македонија и се преселил во редовите на Гостивар.[13][14] Костоски и Гостивар, во јули 2019 година, се договориле за уште една сезона.[15][16] За сезоната 2020/21, во почетокот на јуни 2020 година, тој потпишал двогодишен договор со кој ја продолжил соработката со Гостивар.[17][18]
Во квалификациите за Европското првенство 2015, Костоски постигнал 53 бода на шест натпревари, т.е. 8,8 по натпревар.[5] За време на завршниот турнир во групната фаза во Загреб - Хрватска, тој остварил најмногу бодови во македонската репрезентација односно имал 49 бода на пет натпревари (9,8 по натпревар).[19]
Во февруари 2019 година, Костоски ја обзнал јавноста дека се повлекува од македонската репрезентација.[20][21]
↑„Костоски уште две години во Гостивар“. ekipa.mk преку web.archive.org. 7 јуни 2020. Архивирано од изворникот на 2020-06-07. Посетено на 7 јуни 2020.CS1-одржување: бот: непознат статус на изворната URL (link)
↑„Eurobasket.com All-Macedonian League Awards 2020“. eurobasket.com преку web.archive.org. 24 мај 2020. Архивирано од изворникот на 2020-05-27. Посетено на 2 јуни 2020.CS1-одржување: бот: непознат статус на изворната URL (link)