Egzotyczny R4

Egzotyczny ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ – właściwość czterowymiarowego układu Euklidesowego ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$ który dopuszcza kontinuum rozmaitości różniczkowalnych, które są z nim homeomorficzne (mówiąc kolokwialnie „zachowują kształt”), lecz nie są z nim dyfeomorficzne (mówiąc kolokwialnie „pochodna się gubi”). Rozmaitości takie nazywa się egzotycznymi.

W wymiarach innych niż 4 rozmaitości egzotyczne do układu Euklidesowego nie istnieją.

Pierwsze przykłady egzotycznych rozmaitości ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ odnalazł Michael Freedman i inni w 1982 roku, wykorzystując kontrast pomiędzy twierdzeniem Freedmana o topologicznych 4-rozmiatościach, a twierdzeniem Simona Donaldsona o 4-rozmiatościach gładkich (różniczkowalnych)^[1].

Rodzaje

Egzotyczna rozmaitość ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ jest nazywana małą, jeżeli jest dyfeomorficzna z otwartym podzbiorem standardowego układu Euklidesowego ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$ W przeciwnym wypadku jest nazywana dużą^[1].

Przypisy

1. Michael H. Freedman, Frank Quinn: Topology of 4-manifolds. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1990. ISBN 0-691-08577-3. Brak numerów stron w książce