Sequência generalizada

Em matemática, uma sequência generalizada ou sequência de Moore-Smith também conhecida pelo nome de origem inglesa net é um conceito que permite generaliza a ideia de limite de sequências.

Este conceito foi apresentado inicialmente por E. H. Moore e H. L. Smith em 1922^[1]. Um conceito parecido, de filtro, foi desenvolvido em 1937 por Henri Cartan.

Definições

• Um conjunto ${\displaystyle A\,}$ é dito conjunto direcionado se:
  • É não vazio
  • Admite uma ordem parcial ${\displaystyle \geq \,}$
  • Para todos ${\displaystyle \alpha \,}$ e ${\displaystyle \beta \,}$ em ${\displaystyle A\,}$, existe ${\displaystyle \gamma \in A}$ tal que ${\displaystyle \gamma \geq \alpha \,}$ e ${\displaystyle \gamma \geq \beta \,}$.

• Uma aplicação ${\displaystyle x_{\alpha }:A\to X\,}$ é dita uma sequência generalizada se ${\displaystyle A\,}$ é um conjunto direcionado e ${\displaystyle X\,}$ é um espaço topológico.

• ${\displaystyle x_{\alpha }\,}$ é dita estar eventualmente em ${\displaystyle V\subseteq X\,}$ se existe um ${\displaystyle \alpha \,}$ tal que:

${\displaystyle \gamma \geq \alpha \Longrightarrow x_{\gamma }\in V\,}$

• ${\displaystyle x_{\alpha }\,}$ é dita estar frequentemente em ${\displaystyle V\subseteq X\,}$ se para todo ${\displaystyle \alpha \,}$ existe um ${\displaystyle \gamma \geq \alpha \,}$ tal que:

${\displaystyle x_{\gamma }\in V\,}$

• ${\displaystyle x_{\alpha }\,}$ converge para ${\displaystyle x\in X\,}$ se está eventualmente em cada vizinhança de ${\displaystyle x\,}$.

• ${\displaystyle x_{\alpha }\,}$ se acumula em ${\displaystyle x\in X\,}$ se está frequentemente em cada vizinhança de ${\displaystyle x\,}$.

Exemplos

• Uma sequência é uma sequência de Moore-Smith onde o conjunto direcionado é os naturais
• Se ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,}$ é uma função, então ${\displaystyle f(x)\,}$ é uma sequência de Moore-Smith onde o conjunto dos números reais é o conjunto direcionado.

Referências

1. E. H. Moore and H. L. Smith. "A General Theory of Limits". American Journal of Mathematics (1922) 44 (2), 102–121.

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