Bất đẳng thức Newton

Bất đẳng thức Newton được đặt theo tên của nhà toán học và vật lý học thiên tài người Anh Isaac Newton. Nếu cho a₁,.........,a_n là các số thực và cho σk là hàm đối xứng cơ bản thứ k trong các số a₁,.........,a_n thì các giá trị trung bình đối xứng cơ bản, được tính bởi

${\displaystyle S_{k}={\frac {\sigma _{k}}{\binom {n}{k}}}}$

Trong đó::${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ được gọi là tổ hợp chập k của n phần tử.

thỏa mãn bất đẳng thức

${\displaystyle S_{k-1}S_{k+1}\leq S_{k}^{2}}$

(Trường hợp xảy ra đẳng thức: khi và chỉ khi các số thực a₁,.........,a_n đều bằng nhau)

Tham khảo

• Newton, Isaac (1707). Arithmetica universalis: sive de compositione et resolutione arithmetica liber.
• D.S. Bernstein Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (2009 Princeton) p. 55
• Maclaurin, C. (1729). “A second letter to Martin Folks, Esq.; concerning the roots of equations, with the demonstration of other rules in algebra,”. Phil. Transactions. 36 (407–416): 59–96. doi:10.1098/rstl.1729.0011.
• Whiteley, J.N. (1969). “On Newton's Inequality for Real Polynomials”. The American Mathematical Monthly. The American Mathematical Monthly, Vol. 76, No. 8. 76 (8): 905–909. doi:10.2307/2317943. JSTOR 2317943.
• Niculescu, Constantin (2000). “A New Look at Newton's Inequalities”. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. 1 (2). |article= bị bỏ qua (trợ giúp)