Vi tích phân

Tích phân là một nhánh con quan trọng của vi tích phân

Toán học
Các lĩnh vực Lý thuyết số Hình học Đại số Vi tích phân và Giải tích Toán rời rạc Logic và Tập hợp Xác suất Thống kê và Quyết định
Mối quan hệ với các môn khoa học khác Vật lý Tính toán Sinh học Hóa học Ngôn ngữ Kinh tế Triết học Giáo dục
Cổng thông tin
x t s

Một phần của loạt bài về
Vi tích phân
Định lý cơ bản Quy tắc tích phân Leibniz Giới hạn của hàm số Tính liên tục Định lý giá trị trung bình Định lý Rolle
Vi phân Định nghĩa Đạo hàm (Tổng quát) Vi phân vô cùng bé hàm số toàn phần Khái niệm Ký hiệu vi phân Đạo hàm bậc hai Vi phân ẩn Định lý Taylor Quy tắc và đẳng thức Cộng Nhân Dây chuyền Lũy thừa Chia Quy tắc l'Hôpital Hàm ngược Leibniz tổng quát Công thức Faà di Bruno
Tích phân Danh sách tích phân Biến đổi tích phân Định nghĩa Nguyên hàm Tích phân (suy rộng) Tích phân Riemann Tích phân Lebesgue Tích phân theo chu tuyến Tích phân của hàm ngược Kỹ thuật Từng phần Đĩa Vỏ Thế (lượng giác, Weierstrass, Euler) Công thức Euler Đổi trật tự Công thức truy hồi Lấy đạo hàm dưới dấu tích phân
Chuỗi Hình học (số học-hình học) Điều hòa Đan dấu Lũy thừa Nhị thức Taylor Tiêu chuẩn hội tụ Số hạng d'Alembert Cauchy Tích phân So sánh So sánh giới hạn Chuỗi đan dấu Cô đọng Cauchy Dirichlet Abel
Vectơ Gradien Div Rot Laplace Đạo hàm có hướng Đẳng thức Định lý Gauss Gradient Green Kelvin–Stokes Stokes
Nhiều biến Chủ đề Ma trận Tenxơ Đạo hàm ngoài Hình học Định nghĩa Đạo hàm riêng Tích phân bội Tích phân đường Tích phân mặt Tích phân thể tích Ma trận Jacobi Ma trận Hesse
Chuyên ngành Malliavin Ngẫu nhiên Phép tính biến phân
Thuật ngữ Thuật ngữ giải tích
x t s

Vi tích phân (đầy đủ là vi tích phân của vô cùng nhỏ, tiếng Anh: Calculus - Infinitesimal Calculus) là một phân nhánh toán học nghiên cứu về sự thay đổi liên tục, giống cách mà hình học nghiên cứu về các hình dạng hay đại số nghiên cứu tổng quát về các phép toán.

Vi tích phân có hai phân nhánh chính là vi phân và tích phân, khi mà vi phân nghiên cứu về tốc độ thay đổi tức thì và hệ số góc của các đường cong thì tích phân quan tâm về lượng và diện tích được giới hạn bởi các đường cong. Hai nhánh này có mối quan hệ mật thiết với nhau thông qua định lý cơ bản của giải tích, đồng thời sử dụng các khái niệm cơ bản về sự hội tụ của một chuỗi vô hạn hay dãy vô hạn, được định nghĩa bởi giới hạn.^[1]

Vi tích phân được phát triển độc lập vào nửa cuối thế kỷ 17 bởi Isaac Newton và Gottfried Leibniz.^[2][3] Các nghiên cứu sau này, mà trong đó có định nghĩa khái niệm giới hạn giúp sự phát triển này có một nền tảng vững chắc hơn. Ngày nay, vi tích phân có nhiều vai trò quan trọng trong khoa học, kĩ thuật và khoa học xã hội.^[4]

Từ nguyên

Trong giáo dục toán học, vi tích phân là tiền đề cơ bản để tiến tới giải tích toán học, chủ yếu ở việc nghiên cứu hàm số và giới hạn. Vi tích phân trong tiếng Anh là Calculus, lấy nguyên gốc tiếng Latinh từ calx (có nghĩa là hòn sỏi, ngày nay từ nay vẫn được sử dụng trong y học dưới dạng tương tự là calculus, ý chỉ sỏi muối khoáng trong cơ thể con người). Vì trong quá khứ, những hòn sỏi nhỏ được sử dụng để đo đạc khoảng cách,^[5] kiểm phiếu và làm các bàn tính số học, từ calculus được sử dụng với ý chỉ một phương pháp để tính toán. Với ý này, từ calculus được sử dụng trong tiếng Anh sớm nhất vào năm 1762, vài năm trước các công bố chấn động của Leibniz và Newton.^[6]

Trong tiếng Việt, từ vi tích phân là hợp của hai từ vi phân (微分, vi phân^? với từ "vi" chỉ sự nhỏ, từ "phân" chỉ sự phân chia) và tích phân (積分, tích phân^? với từ "tích" để chỉ sự tích lũy, chồng chất), cũng đồng thời là hai phân nhánh chính của ngành Vi tích phân.

Lịch sử

Bài chi tiết: Lịch sử vi tích phân

Vi tích phân hiện đại được phát triển vào thế kỳ thứ 17 tại châu Âu bởi Isaac Newton và Gottfried Leibniz (hai nhà toán học phát triển một cách độc lập và công bố lần đầu tiên trong cùng một khoảng thời gian), nhưng những tiền đề của nó đã xuất hiện ở Hy Lạp cổ đại, sau đó là Trung Quốc. Trung Đông, châu Âu trong thời kì Trung Cổ và ở Ấn Độ.

Tiền đề cổ đại

Ai Cập

Xem thêm: Toán học Ai Cập cổ đại

Các tính toán thể tích và diện tích - một trong những mục đích của tích phân - đã được tìm thấy trong các ghi chép trên giấy cói của những người Ai Cập cổ đại vào khoảng năm 1820 trước Công nguyên, tuy nhiên những công thức chỉ được chú thích đơn giản mà không đưa ra chứng minh cho nó.^[7][8]

Hy Lạp

Xem thêm: Toán học Hy Lạp

Archimedes sử dụng phương pháp vét cạn để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một parabol trong bài chính luận toán học Cầu phương của Parabola.

Nhà toán học người Hy Lạp cổ đại Eudoxus xứ Cnidus (sinh năm 390 - mất năm 337 TCN) đã đưa ra ý tưởng về phương pháp vét cạn để chứng minh công thức tính thể tích của hình nón và hình chóp, từ đó tạo thành tiền đề để các nhà toán học sau này nghiên cứu về tích phân. Phương pháp vét cạn này cũng đồng thời là một ý tưởng cho khái niệm giới hạn.

Trong thời kỳ Hy Lạp hóa, phương pháp này được phát triển hơn nữa bởi Archimedes (sinh năm 287 - mất năm 212 TCN), người đã giới thiệu cả khái niệm không thể chia - một tiền đề cho khái niệm vô cùng nhỏ - giúp ông có thể giải những bài toán mà ngày nay sử dụng tích phân. Trong cuốn Phương pháp cho các Định luật Công nghệ (tiếng Anh: The Method of Mechanical Theorems) của Ác-si-mét, ông đã mô tả việc tính toán và tìm khối tâm của một khối cầu đặc, của một khối chảo parabol cụt, và của một hình phẳng được giới hạn bởi một parabol và cát tuyến của nó.^[9]

Trung Quốc

Xem thêm: Toán học Trung Quốc

Phương pháp vét cạn sau này cũng được phát triển độc lập tại Trung Quốc bởi Lưu Huy vào thế kỷ thứ 3 sau Công nguyên để tìm diện tích hình tròn.^[10][10] Vào thế kỷ thứ 5, Tổ Hằng cùng với cha mình là Tổ Xung Chi đã công bố một phương pháp mà sau này được gọi là nguyên lý Cavalieri để tìm thể tích của một khối cầu.^[11][12]

Thời Trung Cổ

Ứng dụng

Tham khảo

1. De Baggis, Henry F. (1977). Foundations of the calculus. Kenneth S. Miller. Huntington, N.Y.: R.E. Krieger Pub. Co. ISBN 0-88275-348-7. OCLC 1529441.
2. Bardi, Jason Socrates (2006). The calculus wars : Newton, Leibniz, and the greatest mathematical clash of all time. New York: Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1-56025-706-6. OCLC 66270850.
3. Boyer, Carl B. (1959). The history of the calculus and its conceptual development : (The concepts of the calculus). [New York]: Dover. ISBN 0-486-60509-4. OCLC 643872.
4. Hoffmann, Laurence D. (2004). Calculus for business, economics, and the social and life sciences. Gerald L. Bradley, Kenneth H. Rosen (ấn bản thứ 8). Boston: McGraw Hill Higher Education. ISBN 0-07-242432-X. OCLC 52055958.
5. Xem ví dụ:
   • “history - Were metered taxis busy roaming Imperial Rome?”. Skeptics Stack Exchange. 17 tháng 6 năm 2020. Truy cập ngày 13 tháng 2 năm 2022.
   • Cousineau, Phil (15 tháng 3 năm 2010). Wordcatcher: An Odyssey into the World of Weird and Wonderful Words (bằng tiếng Anh). Simon and Schuster. tr. 58. ISBN 978-1-57344-550-4. OCLC 811492876.
6. “calculus”. Oxford English Dictionary (ấn bản thứ 3). Oxford University Press. tháng 9 năm 2005. (yêu cầu Đăng ký hoặc có quyền thành viên của thư viện công cộng Anh.)
7. Kline, Morris (1990). Mathematical thought from ancient to modern times. v. 3. New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-977048-9. OCLC 726764443.
8. Imhausen, Annette (2016). Mathematics in ancient Egypt : a contextual history. Princeton. ISBN 978-1-4008-7430-9. OCLC 934433864.
9. Xem ví dụ:
   • Powers, J. (2020). “"Did Archimedes do calculus?"” (PDF). Mathematical Association of America. Lưu trữ (PDF) bản gốc ngày 9 tháng 10 năm 2022.
   • Jullien, Vincent (2015). “Archimedes and Indivisibles”. Seventeenth-Century Indivisibles Revisited. Science Networks. Historical Studies. 49. Cham: Springer International Publishing. tr. 451–457. doi:10.1007/978-3-319-00131-9_18. ISBN 978-3-319-00130-2.
   • Plummer, Brad (9 tháng 8 năm 2006). “Modern X-ray technology reveals Archimedes' math theory under forged painting”. Stanford University (bằng tiếng Anh). Truy cập ngày 28 tháng 2 năm 2022.
   • Archimedes (2004). The Works of Archimedes, Volume 1: The Two Books On the Sphere and the Cylinder. Netz, Reviel biên dịch. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66160-7.
   • Gray, Shirley; Waldman, Cye H. (20 tháng 10 năm 2018). “Archimedes Redux: Center of Mass Applications from The Method”. The College Mathematics Journal (bằng tiếng Anh). 49 (5): 346–352. doi:10.1080/07468342.2018.1524647. ISSN 0746-8342. S2CID 125411353.
10. ^ Chinese studies in the history and philosophy of science and technology. Dainian Fan, R. S. Cohen. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 1996. ISBN 0-7923-3463-9. OCLC 32272485.
11. Katz, Victor J. (2009). A history of mathematics : an introduction (ấn bản thứ 3). Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-321-38700-7. OCLC 71006826.
12. Zill, Dennis G. (2011). Calculus : early transcendentals. Warren S. Wright (ấn bản thứ 4). Sudbury, Mass.: Jones and Bartlett Publishers. ISBN 978-0-7637-5995-7. OCLC 257555232.

Liên kết ngoài

• Cổng thông tin Toán học
• Cổng thông tin Thiên nhiên
• Cổng thông tin Công nghệ

• Vi phân tại Từ điển bách khoa Việt Nam
• Tích phân tại Từ điển bách khoa Việt Nam
• Calculus tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)