Đại số quan hệ

Đại số quan hệ (tiếng Anh: relational algebra) dùng phổ biến trong lý thuyết cơ sở dữ liệu quan hệ là một bộ các toán tử và các quy tắc tương ứng có thể được sử dụng để thao tác trên các toán học (relation) và tạo ra kết quả là một quan hệ khác. Trước đây, đại số quan hệ ít được quan tâm cho đến khi Edgar F. Codd đưa ra mô hình dữ liệu quan hệ (relational model) vào năm 1970. Từ đó đến nay, đại số quan hệ được xem là nền tảng cho các ngôn ngữ truy vấn cơ sở dữ liệu.

Quan hệ khả hợp

Cho hai lược đồ quan hệ R(A₁, A₂,..., A_n) và S(B₁, B₂,..., B_m) được gọi là khả hợp nếu:
- Chúng có cùng bậc: m = n.
- Miền giá trị (DOM) của các thuộc tính tương ứng bằng nhau: DOM(A_i) = DOM(B_i) với 1 ≤ i ≤ n.

Các phép toán

Quan hệ NHANVIEN có các thể hiện:

NHANVIEN
MaNV	HoNV	TenNV	Email	SDT	Phong	Luong
NV01	Nguyen Van	A	[e-mail]	0123456789	1	20000
NV02	Tran Thanh	B	[e-mail]	0987643210	1	22000
NV03	Tran Thi	C	[e-mail]	0388888888	3	15000
NV04	Cao Quoc	D	[e-mail]	0246802468	2	17000
NV05	Bui Dinh	E	[e-mail]	0135791357	2	19500
NV06	Nguyen Minh	E	[e-mail]	0888888888	3	18000
NV07	Tran Tien	F	[e-mail]	07111111111	4	19500
NV08	Huynh Thi	C	[e-mail]	0505050505	4	15600

Quan hệ PHONGBAN với các thể hiện:

PHONGBAN
MaPB	TenPB
1	Phong ban 1
2	Phong ban 2
3	Phong ban 3
4	Phong ban 4
5	Phong ban 5
6	Phong ban 6

Phép hợp

Cho hai quan hệ R(U) và S(U) (U là tập hữu hạn các thuộc tính). Điều kiện: R,S khả hợp.
Ký hiệu: R∪S
Kết quả: A = R∪S là một quan hệ (trên tập thuộc tính U) gồm các bộ r thỏa mãn r ∈ R hoặc r ∈ S.

QUANLY
MaNV	HoNV	TenNV	Email	SDT	Phong	Luong
NV02	Tran Thanh	B	[e-mail]	0987643210	1	22000
NV05	Bui Dinh	E	[e-mail]	0135791357	2	19500
NV05	Bui Dinh	E	[e-mail]	0135791357	2	19500
NV06	Nguyen Minh	E	[e-mail]	0888888888	3	18000
NV07	Tran Tien	F	[e-mail]	07111111111	4	19500
NV09	Ho Huu	P	[e-mail]	0378978900	5	23000
NV10	Nguyen Huynh	T	[e-mail]	0388883456	6	22500

Ví dụ: ${\displaystyle NHANVIEN\cup QUANLY}$

MaNV	HoNV	TenNV	Email	SDT	Phong	Luong
NV01	Nguyen Van	A	[e-mail]	0123456789	1	20000
NV02	Tran Thanh	B	[e-mail]	0987643210	1	22000
NV03	Tran Thi	C	[e-mail]	0388888888	3	15000
NV04	Cao Quoc	D	[e-mail]	0246802468	2	17000
NV05	Bui Dinh	E	[e-mail]	0135791357	2	19500
NV06	Nguyen Minh	E	[e-mail]	0888888888	3	18000
NV07	Tran Tien	F	[e-mail]	07111111111	4	19500
NV08	Huynh Thi	C	[e-mail]	0505050505	4	15600
NV09	Ho Huu	P	[e-mail]	0378978900	5	23000
NV10	Nguyen Huynh	T	[e-mail]	0388883456	6	22500

Phép giao

Giao của 2 tập hợp R và S khả hợp là tập hợp các bộ t sao cho ${\displaystyle t\in R\land t\in S}$.

Kí hiệu: ${\displaystyle R\cap S}$. Trong đó:

• R và S là 2 quan hệ khả hợp.
• ${\displaystyle \cap }$: kí hiệu phép giao tập hợp.

${\displaystyle NHANVIEN\cap QUANLY}$

MaNV	HoNV	TenNV	Email	SDT	Phong	Luong
NV02	Tran Thanh	B	[e-mail]	0987643210	1	22000
NV05	Bui Dinh	E	[e-mail]	0135791357	2	19500
NV05	Bui Dinh	E	[e-mail]	0135791357	2	19500
NV06	Nguyen Minh	E	[e-mail]	0888888888	3	18000
NV07	Tran Tien	F	[e-mail]	07111111111	4	19500

Phép trừ

Cho 2 quan hệ R & S là 2 quan hệ trên tập thuộc tính U. Hiệu 2 quan hệ R & S ký hiệu là R\S. là một quan hệ trên tập thuộc tính U và được xác định như sau: R\S={t sao cho t thuộc R và t không thuộc S}

Tích Descartes

Tích Descartes (hay tích Đềcác) của hai tập hợp A và B, ký hiệu là A×B, là một tập hợp chứa tất cả các bộ có dạng (a, b) với a là một phần tử của A và b là một phần tử của B. Hay, viết trong ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp:^[1]

Phép chọn

Định nghĩa

Phép chọn trên một quan hệ R là thao tác chọn ra tập con của các bộ (hàng) trong quan hệ R sao cho thỏa mãn điều kiện chọn. Nói đơn giản, thì phép chọn như là một bộ lọc, dùng để lọc các bộ dữ liệu, chỉ giữ lại các bộ thỏa mãn điều kiện chọn và loại bỏ đi các bộ không thỏa. Kết quả trả về là một quan hệ mới.

Kí hiệu: ${\displaystyle \sigma _{c}(R)}$. Trong đó:

• σ: kí hiệu phép chọn.
• c: điều kiện chọn, là một biểu thức mệnh đề, có thể chứa các toán tử logic như ${\displaystyle \lor }$ (OR - hoặc), ${\displaystyle \land }$ (AND - và), ¬ (Negation - phủ định).
• R: quan hệ R.

Ví dụ: ${\displaystyle \sigma _{Phong=1}(NHANVIEN)}$

MaNV	HoNV	TenNV	Email	SDT	Phong	Luong
NV01	Nguyen Van	A	[e-mail]	0123456789	1	20000
NV02	Tran Thanh	B	[e-mail]	0987643210	1	22000

Tính chất

• Giao hoán: ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\sigma _{\beta }(R))=\sigma _{\beta }(\sigma _{\alpha }(R))}$
• Kết hợp: ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\sigma _{\beta }(R))=\sigma _{\alpha \land \beta }(R))}$

Phép chiếu

Phép chiếu dùng để chọn ra danh sách các thuộc tính trong một quan hệ, và loại bỏ những thuộc tính không cần thiết. Kết quả trả về là một quan hệ mới.

Kí hiệu: ${\displaystyle \pi _{\alpha }(R)}$. Trong đó:

• ${\displaystyle \pi }$: kí hiệu phép chiếu.
• ${\displaystyle \alpha }$: danh sách các thuộc tính cần chiếu có trong bảng quan hệ R.
• R: quan hệ R.

Ví dụ: ${\displaystyle \pi _{MaNV,HoNV,TenNV,Luong}(NHANVIEN)}$

MaNV	HoNV	TenNV	Luong
NV01	Nguyen Van	A	20000
NV02	Tran Thanh	B	22000
NV03	Tran Thi	C	15000
NV04	Cao Quoc	D	17000
NV05	Bui Dinh	E	19500
NV06	Nguyen Minh	E	18000
NV07	Tran Tien	F	19500
NV08	Huynh Thi	C	15600

Phép đổi tên

Kí hiệu: ${\displaystyle \rho _{S}(R)}$ hoặc ${\displaystyle \rho _{S(B_{1},B2,...,B_{n})}(R)}$ hoặc ${\displaystyle \rho _{(B_{1},B_{2},...,B_{n})}(R)}$. Trong đó:

• ${\displaystyle \rho }$: kí hiệu của phép đổi tên.
• ${\displaystyle S}$ hay${\displaystyle S(B_{1},B_{2},...,B_{n})}$ hay ${\displaystyle (B_{1},B_{2},...,B_{n})}$: là tên mới của quan hệ được đổi tên, với các thuộc tính ${\displaystyle (B_{1},B_{2},...,B_{n})}$ của nó.
• R: quan hệ R.

Ví dụ: ${\displaystyle \rho _{NV(MaNV,HoNV,TenNV,Email,SDT,Phong,Luong)}(NHANVIEN)}$, hay ${\displaystyle \rho _{NV}(NHANVIEN)}$ dùng để đổi tên quan hệ NHANVIEN thành quan hệ mới, NV.

Phép kết nối

Phép nối tự nhiên

Phép nối ${\displaystyle {\ce {\theta}}}$

Kí hiệu: ${\displaystyle R\bowtie _{\theta }S}$. Trong đó:

• R và S: là các quan hệ.
• ${\displaystyle \bowtie _{\theta }}$: kí hiệu của phép nối ${\displaystyle \theta }$, với ${\displaystyle \theta }$ là một biểu thức logic.

Ví dụ: ${\displaystyle {\ce {NHANVIEN\bowtie _{(Phong=MaPB)}PHONGBAN}}}$

MaNV	HoNV	TenNV	Email	SDT	Phong	Luong	TenPB
NV01	Nguyen Van	A	[e-mail]	0123456789	1	20000	Phong ban 1
NV02	Tran Thanh	B	[e-mail]	0987643210	1	22000	Phong ban 1
NV03	Tran Thi	C	[e-mail]	0388888888	3	15000	Phong ban 3
NV04	Cao Quoc	D	[e-mail]	0246802468	2	17000	Phong ban 2
NV05	Bui Dinh	E	[e-mail]	0135791357	2	19500	Phong ban 2
NV06	Nguyen Minh	E	[e-mail]	0888888888	3	18000	Phong ban 3
NV07	Tran Tien	F	[e-mail]	07111111111	4	19500	Phong ban 4
NV08	Huynh Thi	C	[e-mail]	0505050505	4	15600	Phong ban 4

Nhận xét: ${\displaystyle R\bowtie _{\theta }S=\sigma _{\theta }(R\times S)}$

Phép nối ngoài

Phép nối ngoài - bên trái

Phép nối ngoài - bên phải

Phép nối ngoài đầy đủ

Phép chia

Xem thêm

• Tích Descartes
• Phép chiếu (toán học)
• Phép chiếu (lý thuyết tập hợp)
• Quan hệ (toán học)

Tham khảo

1. “Tích Descartes”, Wikipedia tiếng Việt, 17 tháng 8 năm 2021, truy cập ngày 15 tháng 4 năm 2024