Định lý Lester

Định lý Lester

Trong hình học Euclid, định lý Lester đặt theo tên của giáo sư nữ June Lester, người Canada, định lý này phát biểu rằng: Trong một tam giác không phải là tam giác cân, thì hai điểm Fermat, tâm đường tròn chín điểm, tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên đường tròn, được gọi là đường tròn Lester. Tâm đường tròn Lester được đánh số là ${\displaystyle X_{1116}}$ trong bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác.^[1] Gần đây Peter Moses mới tìm ra 21 tâm tam giác khác nằm trên đường tròn Lester, các điểm được đánh số trong từ điển Tâm tam giác được đánh số từ X(15535)-X(15555) ^[2]

Chứng minh

Có rất nhiều chứng minh cho định lý Lester. Sau đây là hai chứng minh sử dụng tính chất đường hyperbol chữ nhật

Đường tròn Lester như một tính chất của đường hyperbol chữ nhật

Định lý Lester như một tính chất của đường hyperbol Kiepert

Trong bài báo của Paul Yiu đã đưa ra tổng quát của Bernard Gibert như sau ^[3].

Tất cả mọi đường tròn có đường kính là một dây cung của hyperbol Kiepert và vuông góc với đường thẳng Euler đều đi qua hai điểm Fermat.

Định lý Lester như một tính chất của đường hyperbol chữ nhật

Định lý Lester như một tính chất của đường hyperbol chữ nhật như sau:^[4]

Cho hai điểm ${\displaystyle H}$ và ${\displaystyle G}$ nằm trên một nhánh của một hyperbol chữ nhật, và

1-Cho hai điểm ${\displaystyle F_{+}}$ and ${\displaystyle F_{-}}$ đối xứng qua tâm của hyperbol này sao cho tiếp tuyến của hyperbol tại hai điểm đó song song với đường thẳng ${\displaystyle HG}$,

2-Cho hai điểm ${\displaystyle K_{+}}$ and ${\displaystyle K_{-}}$ nằm trên hyperbol sao cho giao điểm của tiếp tuyến của hyperbol là tại điểm ${\displaystyle E}$ nằm trên đường thẳng ${\displaystyle HG}$.

Nếu như đường thẳng ${\displaystyle K_{+}K_{-}}$ giao với đường thẳng ${\displaystyle HG}$ tại ${\displaystyle D}$, và trung trực của ${\displaystyle DE}$ giao với hyperbol tại ${\displaystyle G_{+}}$ and ${\displaystyle G_{-}}$, khi đó sáu điểm ${\displaystyle F_{+},F_{-},E,F,G_{+},G_{-}}$ nằm trên một đường tròn.

Mở rộng định lý Lester liên quan đến đường cong bậc ba Neuberg

Mở rộng định lý Lester kết hợp với đường cong Neuberg: ${\displaystyle P,Q(P),X_{13},X_{14}}$ lie on a circle

Mở rộng định lý Lester được đề xuất bởi Đào Thanh Oai liên quan đến đường cong Đường cong bậc ba Neuberg ^[5][6][7][8]. Nội dung như sau:

Cho điểm ${\displaystyle P}$ nằm trên đường cong Neuberg, gọi ${\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c}}$ lần lượt là ba điểm đối xứng của ${\displaystyle P}$ qua ba cạnh ${\displaystyle BC,CA,AB}$ của tam giác. Khi đó theo tính chất của đường cong Neuberg thì ba đường thẳng ${\displaystyle AP_{a},BP_{b},CP_{c}}$ đồng quy, gọi điểm đồng quy này là ${\displaystyle Q(P)}$. Giả thuyết đó khẳng định hai điểm Fermat và ${\displaystyle P,Q(P)}$ cùng thuộc một đường tròn. Khi điểm ${\displaystyle P}$ trùng với đường tròn ngoại tiếp tam giác ${\displaystyle ABC}$ thì đường tròn này là đường tròn Lester.

Xem thêm

• Đường tròn Parry
• Đường tròn van Lamoen
• Điểm Fermat

Chú thích

1. http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCPart2.html#X1116 X(1116) = CENTER OF THE LESTER CIRCLE
2. http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCPart8.html#X15535
3. “Yiu, Paul. "The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations." Forum Geometricorum 10, 175–209, 2010” (PDF). Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 7 tháng 10 năm 2021. Truy cập ngày 26 tháng 9 năm 2014.
4. “Đào, Thanh Oai. "A Simple Proof of Gibert's Generalization of the Lester Circle Theorem." Forum Geometricorum 14, 123–125, 2014” (PDF). Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 10 tháng 10 năm 2015. Truy cập ngày 26 tháng 9 năm 2014.
5. “X(7668) = POLE OF X(115)X(125) WITH RESPECT TO THE NINE-POINT CIRCLE”. ngày 1 tháng 6 năm 2015.
6. “X(42740) = CENTER OF THE DAO-LESTER CIRCLE OF X(1)”. ngày 22 tháng 4 năm 2021.
7. Dao Thanh Oai, Generalizations of some famous classical Euclidean geometry theorems, International Journal of Computer Discovered Mathematics ISSN 2367-7775, June 2016, Volume 1, No.3, pp.13-20
8. Ngo Quang Duong, Generalizations of the Lester circle, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, ISSN: 2284-5569, Vol.10, (2021), Issue 1, pp.49-61

Tham khảo

• Clark Kimberling, "Lester Circle", Mathematics Teacher, volume 89, number 26, 1996.
• June A. Lester, "Triangles III: Complex triangle functions", Aequationes Mathematicae, volume 53, pages 4–35, 1997.
• Michael Trott, "Applying GroebnerBasis to Three Problems in Geometry", Mathematica in Education and Research, volume 6, pages 15–28, 1997.
• Ron Shail, "A proof of Lester's Theorem", Mathematical Gazette, volume 85, pages 225–232, 2001.
• John Rigby, "A simple proof of Lester's theorem", Mathematical Gazette, volume 87, pages 444–452, 2003.
• J.A. Scott, "On the Lester circle and the Archimedean triangle", Mathematical Gazette, volume 89, pages 498–500, 2005.
• Michael Duff, "A short projective proof of Lester's theorem", Mathematical Gazette, volume 89, pages 505–506, 2005.
• Stan Dolan, "Man versus Computer", Mathematical Gazette, volume 91, pages 469–480, 2007.