Định lý Menelaus

Định lý Menelaus

Định lý Menelaus^[1] là một định lý cơ bản trong hình học tam giác, được phát biểu như sau: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi

${\displaystyle {\frac {\overline {FA}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {DB}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {EC}}{\overline {EA}}}=1}$

Chứng minh

*Phần thuận: Giả sử D, E, F là 3 điểm thẳng hàng với nhau. Vẽ đường thẳng qua C và song song với AB cắt đường thẳng DE tại G.
Vì ${\displaystyle CG\parallel AB}$ (c.dựng) nên theo định lý Ta-lét, ta có:
${\displaystyle {\frac {DB}{DC}}={\frac {FB}{CG}}}$ ${\displaystyle (1)}$và ${\displaystyle {\frac {EC}{EA}}={\frac {CG}{FA}}}$ ${\displaystyle (2)}$
Nhân ${\displaystyle (1)}$ và ${\displaystyle (2)}$ và vế theo vế
${\displaystyle {\frac {DB}{DC}}\cdot {\frac {EC}{EA}}={\frac {FB}{FA}}}$
Từ đó suy ra
${\displaystyle {\frac {FA}{FB}}\cdot {\frac {DB}{DC}}\cdot {\frac {EC}{EA}}=1}$
*Phần đảo: Giả sử ${\displaystyle {\frac {FA}{FB}}\cdot {\frac {DB}{DC}}\cdot {\frac {EC}{EA}}=1}$. Khi đó gọi F' là giao của đường thẳng ED với đường thẳng AB.
Theo chứng minh ở trên, ta có ${\displaystyle {\frac {F'A}{F'B}}\cdot {\frac {DB}{DC}}\cdot {\frac {EC}{EA}}=1}$
Kết hợp giả thiết => ${\displaystyle {\frac {FA}{FB}}={\frac {F'A}{F'B}}}$
Hay ${\displaystyle {\frac {FA}{F'A}}={\frac {FB}{F'B}}={\frac {FA+FB}{F'A+F'B}}={\frac {AB}{AB}}=1}$
Nên ${\displaystyle F'A=FA}$ và ${\displaystyle F'B=FB}$
=> ${\displaystyle F'}$ trùng với ${\displaystyle F}$.
Vậy định lý đã được chứng minh.

Xem thêm

• Định lý Carnot
• Định lý Ceva

Tham khảo

1. Định lý được đặt theo tên của nhà toán học Menelaus xứ Alexandria (thế kỷ II - III), người tìm ra định lý này trong quyển sách Sphaerica vào năm 98

• Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. "Menelaus's Theorem." §3.4 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 66–67, 1967.
• Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 122, 1987.
• Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.
• Grünbaum, B. and Shepard, G. C. "Ceva, Menelaus, and the Area Principle." Math. Mag. 68, 254-268, 1995.
• Honsberger, R. "The Theorem of Menelaus." Ch. 13 in Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 147–154, 1995.
• Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 42–44, 1928.
• Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.
• Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 150, 1991.