Định lý Napoleon

Trọng tâm ba tam giác đều trong hình vẽ là các đỉnh của một tam giác đều, tam giác Napoleon của tam giác ABC

Trong hình học phẳng, định lý Napoleon phát biểu rằng nếu như dựng ba tam giác đều cùng ra phía ngoài hoặc cùng vào phía trong trên ba cạnh của một tam giác bất kỳ, thì tâm của các tam giác đều này tạo thành một tam giác đều.

Nếu như ba tam giác đều cùng dựng ra ngoài ta có tam giác Napoleon ngoài, còn ba tam giác cùng dựng vào phía trong ta có tam giác Napoleon trong. Hiệu diện tích của hai tam giác Napoleon trong và ngoài bằng diện tích tam giác ban đầu.

Định lý này đặt theo tên của hoàng đế nước Pháp là Napoleon Bonaparte (1769–1821).

Điểm Napoleon

Hai tam giác Napoleon trong và ngoài của tam giác ABC thấu xạ với tam giác ABC tại hai điểm gọi là điểm Napoleon thứ nhất và thứ hai của tam giác ABC. Trong bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác hai điểm Napoleon được đánh số X(17),(X18).^[1][2]

Một số mở rộng

Có rất nhiều mở rộng cho định lý Napoleon, sau đây là một số mở rộng gần đây.

Một họ tam giác đều Napoleon

Cho tam giác ${\displaystyle ABC}$, dựng ba tam giác cân đồng dạng cùng ra ngoài hoặc cùng vào trong ${\displaystyle BA_{0}C,CB_{0}A,AC_{0}B}$ với góc ở đáy là ${\displaystyle \alpha }$. Cho các điểm ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},A_{2},B_{2},C_{2}}$ trên cách tia ${\displaystyle AA_{0},BB_{0},CC_{0}}$ sao cho:

${\displaystyle {\frac {AA_{1}}{AA_{0}}}={\frac {BB_{1}}{BB_{0}}}={\frac {CC_{1}}{CC_{0}}}={\frac {2}{3-{\sqrt {3}}\tan \alpha }}}$ và

${\displaystyle {\frac {AA_{2}}{AA_{0}}}={\frac {BB_{2}}{BB_{0}}}={\frac {CC_{2}}{CC_{0}}}={\frac {2}{3+{\sqrt {3}}\tan \alpha }}}$

Thì các tam giác ${\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}}$ và ${\displaystyle A_{2}B_{2}C_{2}}$ là các tam giác đều ^[3]

Dựng các tam giác đều trên cạnh của một lục giác

Trung điểm của ba đoạn thẳng nối trọng tâm của các tam giác đều đối diện là một tam giác đều

Dựng sáu tam giác đều trên các cạnh của một lục giác bất kỳ sao cho chúng cùng hướng ra ngoài hoặc vào trong, khi đó trung điểm của các đoạn thẳng nối các trọng tâm của ba cặp tam giác đều đối diện nhau tạo thành một tam giác đều. Trong trường hợp các đỉnh đối diện của lục giác trùng nhau định lý này trở về định lý Napoleon.^[4]

Mở rộng định lý Napoleon kết hợp với cấu trúc đường hyperbol Kiepert

Cho tam giác ABC, F là điểm Fermat thứ nhất (hoặc thứ hai) của tam giác ABC, gọi K là điểm bất kỳ nằm trên đường hyperbol Kiepert. Gọi P là điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng FK, khi đó AK cắt đường thẳng qua P và vuông góc BC tại A₀, định nghĩa B₀, C₀ tương tự. Khi đó tam giác A₀B₀C₀ sẽ là tam giác đều vị tự của tam giác đều Napoleon trong (hoặc ngoài).^{[5][6] [7]}

Xem thêm

• Vấn đề Lemoine
• Vấn đề Napoleon
• Điểm Fermat
• Lục giác

Ghi chú

1. X(17) = 1st NAPOLEON POINT
2. X(18) = 2nd NAPOLEON POINT
3. Dao Thanh Oai (2015). 99.09 A family of Napoleon triangles associated with the Kiepert configuration. The Mathematical Gazette, 99, pp 151-153. doi:10.1017/mag.2014.22.
4. “Dao Thanh Oai, Equilateral triangles and Kiepert perspectors in complex numbers, Forum Geometricorum, 15 (2015) 105--114, ISSN 1534-1178” (PDF). Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 20 tháng 6 năm 2023. Truy cập ngày 18 tháng 6 năm 2015.
5. Đào Thanh Oai, Dành cho nhà toán học nhỏ-mở rộng định lý Napoleon, Tạp chí toán học tuổi thơ, số ra tháng 4 năm 2015, trang 22, 23, ISSN 1859-2740
6. Dao Thanh Oai, Telv Cohl, A generalization Napoleon theorem, tại Art of Problem Solving
7. Dao Thanh Oai, Some new equilateral triangle in plane geometry, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries ISSN: 2284-5569, Vol.7, (2018), Issue 2, pp.73-91

Tham khảo

• Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967). Geometry Revisited. New Mathematical Library. 19. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. tr. 60–65. ISBN 978-0-88385-619-2. Zbl 0166.16402.
• Grünbaum, Branko (2012). Is Napoleon's Theorem Really Napoleon's Theorem?. American Mathematical Monthly. 119. tr. 495–501. doi:10.4169/amer.math.monthly.119.06.495. Zbl 1264.01010.
• Wetzel, John E. (tháng 4 năm 1992). Converses of Napoleon's Theorem (PDF). The American Mathematical Monthly. 99. tr. 339–351. doi:10.2307/2324901. Zbl 1264.01010. Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 29 tháng 4 năm 2014. Truy cập ngày 27 tháng 10 năm 2014.

Liên kết ngoài

• Napoleon's Theorem and Generalizations, at Cut-the-Knot
• To see the construction, at instrumenpoche
• Napoleon's Theorem by Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W., "Napoleon's Theorem" từ MathWorld.
• Napoleon's Theorem and some generalizations, variations & converses at Dynamic Geometry Sketches
• Napoleon's Theorem, Two Simple Proofs
• Infinite Regular Hexagon Sequences on a Triangle (generalization of Napoleon's Theorem) by Alvy Ray Smith.