Định lý lá cờ Anh

Định lý Lá Cờ Nước Anh phát biểu rằng tổng diện tích hình vuông màu đỏ bằng tổng diện tích hình vuông màu xanh

Trong hình học Euclid, định lý Lá Cờ Nước Anh phát biểu rằng cho một điểm P trên mặt phẳng hình chữ nhật ABCD khi đó tổng diện tích hai hình vuông với độ dài cạnh lần lượt là khoảng cách từ điểm P đến hai đỉnh đối nhau bằng tổng diện tích hai hình vuông với các cạnh lần lượt là khoảng cách từ điểm P đến hai đỉnh đối còn lại.^[1][2][3]

Định lý được thể hiện thông qua Phương trình sau:

${\displaystyle AP^{2}+CP^{2}=BP^{2}+DP^{2}.\,}$

Định lý cũng đúng nếu điểm P nằm trong không gian Euclid chứa hình chữ nhật.^[4]. Tuy nhiên định lý không còn đúng nếu như ta thay hình chữ nhật bởi một hình bình hành.^[5]

Chứng minh

Minh hoạ cách chứng minh

Hình chiếu của P tới các cạnh AB, BC, CD, và AD lần lượt là các điểm w, x, y và z. Khi đó wxyz là một tứ giác có hai đường chéo vuông góc

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AwP, và ta thấy wP = Az, do đó

• ${\displaystyle AP^{2}=Aw^{2}+wP^{2}=Aw^{2}+Az^{2}}$

tương tự ta có:

• ${\displaystyle PC^{2}=wB^{2}+zD^{2},}$
• ${\displaystyle BP^{2}=wB^{2}+Az^{2},}$ và
• ${\displaystyle PD^{2}=zD^{2}+Aw^{2}.}$

Do đó: ${\displaystyle AP^{2}+PC^{2}=(Aw^{2}+Az^{2})+(wB^{2}+zD^{2})}$ ${\displaystyle =(wB^{2}+Az^{2})+(zD^{2}+Aw^{2})=BP^{2}+PD^{2}}$

Ứng dụng

Tổng diện tích các tứ giác cùng màu bằng nhau

Một ứng dụng định lý là cờ nước anh như sau: Cho hai đa giác đều 2n cạnh là A₁A₂....A_2n và B₁B₂....B_2n khi đó tổng diện tích của hai tứ giác A_iA_i+1B_i+1B_i và A_i+nA_i+1+nB_i+1+nB_i+n là bằng nhau với mọi i=1,...,n. Kết quả này được chứng minh từ trường hợp hai hình chữ nhật đồng dạng.^[6]

Mở rộng

Cho hai hình chữ nhật đồng dạng cùng hướng ABCD và A'B'C'D' khi đó ta có hệ thức:^[7]

${\displaystyle AA^{2}+CC^{2}=BB^{2}+DD^{2}}$

Rõ ràng khi một trong hai hình chữ nhật suy biến thành một điểm thì sẽ có định lý Lá Cờ Anh.

Tham khảo

1. Lardner, Dionysius (1848), The First Six Books of the Elements of Euclid, H.G. Bohn, tr. 87. Lardner includes this theorem in what he calls "the most useful and remarkable theorems which may be inferred" from the results in Book II of Euclid's Elements.
2. Young, John Wesley; Morgan, Frank Millett (1917), Elementary Mathematical Analysis, The Macmillan company, tr. 304.
3. Bôcher, Maxime (1915), Plane Analytic Geometry: with introductory chapters on the differential calculus, H. Holt and Company, tr. 17.
4. Harvard-MIT Mathematics Tournament solutions, Problem 28.
5. Hadamard, Jacques (2008), Lessons in Geometry: Plane geometry, American Mathematical Society, tr. 136, ISBN 978-0-8218-4367-3.
6. Nguyễn Minh Hà và Đào Thanh Oai, An interesting application of the British flag theorem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Vol.4, (2015), Issue 1, pp.31-34, ISSN 2284-5569
7. Dao Thanh Oai, Problem 2015.5, The Mathematical Gazette, 99, pp 554-556. doi:10.1017/mag.2015.108.