Đa thức cực tiểu (đại số tuyến tính)

Trong đại số tuyến tính, đa thức cực tiểu μ_A của một ma trận n × n A trên một trường F là một đa thức monic P trên F với bậc thấp nhất sao cho P(A) = 0. Bất kỳ đa thức Q nào khác sao cho Q(A) = 0 là một bội của μ_A.

Các khẳng định sau là tương đương:

1. λ là một nghiệm của μ_A,
2. λ là một nghiệm của đa thức đặc trưng χ_A of A,
3. λ là một giá trị riêng của ma trận A.

Độ bội (hay số bội) của một nghiệm λ của μ_A là lũy thừa m lớn nhất sao cho ker((A − λI_n)^m) bao hàm ngặt ker((A − λI_n)^m−1). Nói cách khác, việc tăng số mũ lên đến m sẽ cho hạch tăng liên tục, nhưng tăng thêm số mũ lớn hơn m thì chỉ cho cùng một hạch.

Định nghĩa

Cho một tự đồng cấu T trên không gian vectơ hữu hạn V trên một trường F, đặt I_T là tập hợp

${\displaystyle {\mathit {I}}_{T}=\{p\in \mathbf {F} [t]\mid p(T)=0\}}$

trong đó F[t] là không gian của tất cả các đa thức trên trường F. I_T là một i-đê-an đích thực của F[t]. Vì F là một trường, F[t] là miền chính, do đó, bất kỳ i-đê-an nào cũng là một i-đê-an chính. Đa thức cực tiểu được định nghĩa là đa thức monic duy nhất sinh I_T. Đây là đa thức monic bậc thấp nhất trong I_T

Thí dụ

Đa thức cực tiểu của ma trận đơn vị là ${\displaystyle t-1\in k[t]}$, trong khi đa thức đặc trưng của ma trận đơn vị là ${\displaystyle (t-1)^{n}}$. Tương tự, đa thức cực tiểu của ma trận ${\displaystyle 0}$ là ${\displaystyle t}$, và đa thức đặc trưng của nó là ${\displaystyle t^{n}}$.

Tham khảo

• Lang, Serge (2002), Algebra, Giáo trình cao học, 211 (Sửa đổi lần thứ ba.), New York: Springer-Verlag