Bài toán Napoléon (tiếng Pháp: Problème de Napoléon, tiếng Anh: Napoleon's problem) là một bài toán về dựng hình bằng compa,[1][2] yêu cầu tìm tâm của một đường tròn cho trước. Một phiên bản đơn giản hơn của bài toán là chia đường tròn thành bốn cung bằng nhau chỉ bằng compa.
Napoléon Bonaparte, người được cho là có liên quan đến bài toán này, nổi tiếng với niềm đam mê toán học. Tuy nhiên, không có bằng chứng chắc chắn rằng ông là tác giả hoặc đã giải được bài toán này. Ý tưởng giới hạn việc sử dụng chỉ compa trong các bài toán dựng hình đã được nhà toán học người Ý Lorenzo Mascheroni đề xuất. Tuy nhiên, ý tưởng này cũng xuất hiện trong cuốn sách Euclides Danicus của Georg Mohr, viết từ năm 1672 nhưng chỉ được chú ý rộng rãi từ năm 1928.
Bài viết này trình bày cách giải và chứng minh cho cả hai phiên bản bài toán.
Chia đường tròn thành bốn cung bằng nhau (cho trước tâm)
Cho một đường tròn bất kỳ. Chỉ sử dụng compa để xác định tâm của nó.[3]
Cách giải
Hình vẽ minh họa cho bài toán tìm tâm đường tròn cho trước.
Gọi (C) là đường tròn cần tìm tâm. Lấy một điểm A bất kỳ trên (C).
Vẽ một đường tròn (C1) bất kỳ cắt (C) tại B và B′.
Vẽ hai đường tròn (C2) có tâm lần lượt là B và B′, bán kính AB. Chúng cắt nhau tại C.
Vẽ đường tròn tâm C, bán kính AC, cắt (C1) tại D và D′.
Vẽ hai đường tròn tâm lần lượt là D và D′, bán kính AD. Chúng giao nhau tại O, là tâm cần tìm.
Chứng minh:
Hình vẽ minh họa cho chứng minh cách giải của Bài toán Napoleon.
Ý tưởng của phần chứng minh này là sẽ dựng hình chỉ sử dụng compa để dựng đoạn thẳng độ dài với a; b cho trước và thỏa mãn:
Ta tiếp tục sử dụng hình vẽ của phần dựng hình để chứng minh như sau:
Vẽ đường tròn (O; OA = a). Để chứng minh O là tâm của (C), ta cần chứng minh nếu (C) có bán kính r thì AO = r.
Kẻ đường kính AA', lấy dây cung BB' cắt AA' tại H sao cho AB = AB' = b. Vẽ (B; AB = b), đường tròn này cắt OA tại C.
Ta thấy góc ABA' là góc nội tiếp nửa đường tròn, từ đó suy ra góc này là góc vuông. Ta cũng thấy BH vuông góc với AA', từ đó ta thu được công thức dựa trên hệ thức lượng:
Từ đó, ta có: , cũng suy ra
Ta thấy A; B và B' đều nằm trên (C) bán kính r, hơn nữa AB; AB'; BC và B'C đều bằng b, từ đó suy ra , từ đó có được a = r.
Hyouka (氷菓 - Băng Quả) hay còn có tên là "Kotenbu" (古典部 - Cổ Điển Hội) là 1 series light novel được sáng tác bởi nhà văn Honobu Yonezawa và phát hành bởi nhà xuất bản Kadokawa Shoten
Kakuja (赫者, red one, kakuja) là một loại giáp với kagune biến hình bao phủ cơ thể của ma cà rồng. Mặc dù hiếm gặp, nhưng nó có thể xảy ra do ăn thịt đồng loại lặp đi lặp lại