Bài toán hình vuông nội tiếp

Vấn đề mở trong toán học: Có đúng là mọi đường cong Jordan đều có một hình vuông nội tiếp? (các vấn đề mở khác trong toán học)

Ví dụ: Đường cong đứt nét màu đen đi qua các đỉnh của một vài hình vuông màu xanh.

Bài toán hình vuông nội tiếp là một bài toán mở trong hình học: Cho trước một đường cong liên tục, đơn, đóng trên mặt phẳng. Có tồn tại hay không một hình vuông với các đỉnh nằm trên đường cong đó?

Vấn đề này được Otto Toeplitz đặt ra vào năm 1911.^[1] Arnold Emch và Lev Schnirelmann đã đạt được một số kết quả.^[2][3] Cho đến năm 2020, bài toán tổng quát vẫn là một vấn đề mở.^[4]

Các trường hợp đã giải được

Trong một số trường hợp với các đường cong có một số tính chất nhất định, người ta đã chứng minh được câu trả lời khẳng định cho vấn đề này.^[5]

Đường cong giải tích từng đoạn

Arnold Ernch chỉ ra rằng các đường cong giải tích từng đoạn luôn có một hình vuông nội tiếp. Nói riêng, các đa giác luôn có một hình vuông nội tiếp.^[5]

Đường cong đơn điệu địa phương

Stromquist chứng minh rằng các đường cong phẳng, đơn, đơn điệu địa phương thì có một hình vuông nội tiếp.^[6]

Biến thể và khái quát hóa

Thay vì xét các hình vuông, ta có thể đặt câu hỏi về những hình dạng khác nội tiếp trong một đường cong Jordan. Người ta đã chứng minh rằng với mọi tam giác T và mọi đường cong Jordan C, tồn tại một tam giác đồng dạng với T và nội tiếp trong C.^[7][8]

Năm 2020, Joshua Evan Greene và Andrew Lobb chứng minh rằng với mọi đường cong Jordan C và mọi hình chữ nhật R, tồn tại một hình chữ nhật đồng dạng với R và nội tiếp trong C. ^[4][9]

Tham khảo

1. Toeplitz, O. (1911), “Über einige Aufgaben der Analysis situs”, Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft (bằng tiếng Đức), 94: 197
2. Emch, Arnold (1916), “On some properties of the medians of closed continuous curves formed by analytic arcs”, American Journal of Mathematics, 38 (1): 6–18, doi:10.2307/2370541, JSTOR 2370541, MR 1506274
3. Šnirel'man, L. G. (1944), “On certain geometrical properties of closed curves”, Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 10: 34–44, MR 0012531
4. ^ Hartnett, Kevin (ngày 25 tháng 6 năm 2020), “New geometric perspective cracks old problem about rectangles”, Quanta Magazine, truy cập ngày 26 tháng 6 năm 2020
5. ^ Matschke, Benjamin (2014), “A survey on the square peg problem”, Notices of the American Mathematical Society, 61 (4): 346–352, doi:10.1090/noti1100
6. Stromquist, Walter (1989), “Inscribed squares and square-like quadrilaterals in closed curves”, Mathematika, 36 (2): 187–197, doi:10.1112/S0025579300013061, MR 1045781
7. Meyerson, Mark D. (1980), “Equilateral triangles and continuous curves”, Fundamenta Mathematicae, 110 (1): 1–9, doi:10.4064/fm-110-1-1-9, MR 0600575
8. Kronheimer, E. H.; Kronheimer, P. B. (1981), “The tripos problem”, Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 24 (1): 182–192, doi:10.1112/jlms/s2-24.1.182, MR 0623685
9. Greene, Joshua Evan; Lobb, Andrew (ngày 18 tháng 5 năm 2020), The rectangular peg problem, arXiv:2005.09193

Đọc thêm

• Klee, Victor; Wagon, Stan (1991), “Inscribed squares”, Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, The Dolciani Mathematical Expositions, 11, Cambridge University Press, tr. 58–65, 137–144, ISBN 978-0-88385-315-3

Liên kết ngoài

• Mark J. Nielsen, Figures Inscribed in Curves. A short tour of an old problem
• Inscribed squares: Denne speaks at Jordan Ellenberg's blog
• Who cares about topology? (Inscribed rectangle problem) YouTube video showing a topological solution to a simplified version of the problem.