Bất đẳng thức Doob

Trong toán học, bất đẳng thức Doob cho martingale là một bất đẳng thức chặn trên xác suất một quá trình ngẫu nhiên vượt ra ngoài một giới hạn cho trước trong một khoảng thời gian nhất định. Bất đẳng thức này áp dụng cho mọi submartingale không âm (chẳng hạn như giá trị tuyệt đối của một martingale). Nó được chứng minh bởi nhà toán học Mỹ Joseph Leo Doob.

Phát biểu

Giả sử ${\displaystyle X_{t}}$ là một submartingale không âm và đặt

${\displaystyle X_{t}^{*}=\sup _{s\leq t}X_{s}}$.

Khi đó,^[1][2]

${\displaystyle \mathbf {P} [X_{t}^{*}\geq c]\leq {\frac {\mathbf {E} [X_{t}]}{c}}}$

${\displaystyle \Vert X_{t}^{*}\Vert _{p}\leq {\frac {p}{p-1}}\Vert X_{t}\Vert _{p}}$

với mọi ${\displaystyle c>0}$ và ${\displaystyle p>1}$.

Các bất đẳng thức liên quan

Một hệ quả của bất đẳng thức Doob cho thời gian rời rạc là bất đẳng thức Kolmogorov: nếu X₁, X₂,... là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị thực và có giá trị kỳ vọng 0, thì

${\displaystyle \mathbf {E} {\big [}X_{1}+\dots +X_{n}+X_{n+1}{\big |}X_{1},\dots ,X_{n}{\big ]}}$

${\displaystyle =X_{1}+\dots +X_{n}+\mathbf {E} {\big [}X_{n+1}{\big |}X_{1},\dots ,X_{n}{\big ]}}$

${\displaystyle =X_{1}+\cdots +X_{n},}$

nên M_n = X₁ + ... + X_n là một martingale. Theo bất đẳng thức Jensen, ${\displaystyle M_{n}^{2}}$ là một submartingale không âm nếu ${\displaystyle M_{n}}$ là một martingale. Do đó, áp dụng bất đẳng thức Doob, ta có

${\displaystyle \mathbf {P} \left[\max _{1\leq i\leq n}{\big |}M_{i}{\big |}\geq \lambda \right]\leq {\frac {\mathbf {E} {\big [}M_{n}^{2}{\big ]}}{\lambda ^{2}}},}$

Đây chính là bất đẳng thức Kolmogorov.

Ứng dụng: chuyển động Brown

Giả sử B là một chuyển động Brown một chiều. Khi đó

${\displaystyle \mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]\leq \exp \left(-{\frac {C^{2}}{2T}}\right).}$

Có thể chứng minh mệnh đề này như sau. Do hàm mũ đơn điệu tăng, với mọi λ không âm, ta có

${\displaystyle \left\{\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right\}=\left\{\sup _{0\leq t\leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right\}.}$

Do hàm mũ của chuyển động Brown là một submartingale không âm, theo bất đẳng thức Doob,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]\\&=\mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right]\\&\leq {\frac {\mathbf {E} {\big [}\exp(\lambda B_{T}){\big ]}}{\exp(\lambda C))}}\\&\leq \exp \left({\frac {\lambda ^{2}T}{2}}-\lambda C\right){\mbox{ do }}\mathbf {E} {\big [}\exp(\lambda B_{t}){\big ]}\leq \exp \left({\frac {\lambda ^{2}t}{2}}\right).\end{aligned}}}$

Do vế trái không phụ thuộc λ, chọn λ sao cho vế phải là nhỏ nhất: λ = C / T cho ta bất đẳng thức cần chứng minh.

Ghi chú

1. “Planetmath: Doob's inequalities”. Bản gốc lưu trữ ngày 1 tháng 7 năm 2012. Truy cập ngày 8 tháng 10 năm 2011.
2. Bài giảng 2 lớp xác suất II tại NUS, Singapore

Tham khảo

• Revuz, Daniel and Yor, Marc (1999). Continuous martingales and Brownian motion (ấn bản 3). Berlin: Springer. ISBN 3-540-64325-7. (Định lý II.1.7)
• Shiryaev, Albert N. (2001), “Martingale”, trong Hazewinkel, Michiel (biên tập), Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4