Bất đẳng thức Nesbitt

Trong toán học, bất đẳng thức Nesbitt (tiếng Anh: Nesbitt's inequality) là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Shapiro khi số phần tử là 3. Nó được phát biểu như sau:

Cho a,b,c là ba số thực dương. Khi đó ta có:

Chứng minh

[sửa | sửa mã nguồn]

Bất đẳng thức này có nhiều cách chứng minh. Dưới đây trình bày 2 cách.

Cách thứ nhất

[sửa | sửa mã nguồn]

Bắt đầu từ bất đẳng thức Nesbitt (đề xuất năm 1903)

Biến đổi vế trái:

Thêm một bước biến đổi:

Điều này luôn đúng với mọi a,b,c thực dương (Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với 3 số dương)

Chia cả hai vế cho 3 và chuyển vế:

Vế trái là trung bình cộng, vế phải là trung bình điều hoà, do vậy bất đẳng thức đúng, ta có điều cần chứng minh.

(Ta cũng có thể sử dụng trung bình nhân của ba biến để chứng minh).

Cách thứ hai

[sửa | sửa mã nguồn]

Không mất tính tổng quát, giả sử , ta có:

Đặt:

Tích vô hướng của 2 vector trên cực đại theo Bất đẳng thức hoán vị nếu chúng được xếp cùng hướng. Đặt là các vector thu được từ chuyển tương ứng 1 và 2 vị trí, ta có:

[sửa | sửa mã nguồn]

Cộng 2 bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức Nesbitt.

Bất đẳng thức nesbitt còn được viết dưới dạng tổng:

Chú thích

[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]
Chúng tôi bán
Bài viết liên quan
Hiểu đúng về lạm phát – áp lực chi tiêu khi đồng tiền mất giá
Hiểu đúng về lạm phát – áp lực chi tiêu khi đồng tiền mất giá
Lạm phát là một từ phổ biến trong lĩnh vực kinh tế và thường xuyên xuất hiện trong đời sống hằng ngày quanh ta
Top 10 món ngon Sapa ăn là ghiền
Top 10 món ngon Sapa ăn là ghiền
Nhiều người chọn đến với Sa Pa không chỉ vì núi non hùng vĩ hay thời tiết se lạnh, mà còn vì những món đặc sản Tây Bắc mang sức hút riêng
Cậu ngày hôm nay là tất cả đáng yêu (phần 4)
Cậu ngày hôm nay là tất cả đáng yêu (phần 4)
Cậu ngày hôm nay là tất cả đáng yêu - 今天的她也是如此可爱. phần 4
Koi to Yobu ni wa Kimochi Warui Vietsub
Koi to Yobu ni wa Kimochi Warui Vietsub
Phim bắt đầu từ cuộc gặp gỡ định mệnh giữa chàng nhân viên Amakusa Ryou sống buông thả