Bất đẳng thức hoán vị

Trong toán học, bất đẳng thức hoán vị là:

Cho hai dãy số thực (${\displaystyle x_{n}}$),(${\displaystyle y_{n}}$),(n∈N) thỏa mãn:

${\displaystyle x_{1}\geq x_{2}\geq \cdots \geq x_{n}}$

và

${\displaystyle y_{1}\geq y_{2}\geq \cdots \geq y_{n}}$

Với mỗi hoán vị (${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{n}}$) của (${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$) ta có:

${\displaystyle x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+...+x_{n}y_{n}\geq z_{1}y_{1}+z_{2}y_{2}+...+z_{n}y_{n}\geq x_{n}y_{1}+x_{n-1}y_{2}+...+x_{1}y_{n}}$

Đẳng thức xảy ra khi một trong 2 dãy là "dừng", hoặc (${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{n}}$) đồng bậc với (${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$) hoặc (${\displaystyle x_{n},...,x_{2},x_{1}}$)

Hệ quả: Cho dãy số thực (${\displaystyle x_{n}}$),(n∈N) và (${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{n}}$) là một hoán vị của (${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$), ta có:

1/ ${\displaystyle {x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+...+{x_{n}}^{2}\geq x_{1}z_{1}+x_{2}z_{2}+...+x_{n}z_{n}}$

2/ ${\displaystyle {\frac {z_{1}}{x_{1}}}+{\frac {z_{2}}{x_{2}}}+...+{\frac {z_{n}}{x_{n}}}\geq n}$

Chứng minh

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

${\displaystyle y_{1}(x_{1}-z_{1})+y_{2}(x_{2}-z_{2})+y_{3}(x_{3}-z_{3})+...+y_{n}(x_{n}-z_{n})\geq 0}$.

Theo khai triển Abel ta có:

${\displaystyle y_{1}(x_{1}-z_{1})+y_{2}(x_{2}-z_{2})+y_{3}(x_{3}-z_{3})+...+y_{n}(x_{n}-z_{n})}$${\displaystyle =(y_{1}-y_{2})(x_{1}-z_{1})+(y_{2}-y_{3})(x_{1}+x_{2}-z_{1}-z_{2})+(y_{3}-y_{4})(x_{1}+x_{2}+x_{3}-z_{1}-z_{2}-z_{3})}$${\displaystyle +...+(y_{n-1}-y_{n})(x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1}-z_{1}-z_{2}-...-z_{n-1})+y_{n}(x_{1}+x_{2}+...+x_{n}-z_{1}-z_{2}-...-z_{n})}$.

Do ${\displaystyle x_{1}\geq x_{2}\geq ...\geq x_{n}}$ và ${\displaystyle y_{1}\geq y_{2}\geq ...\geq y_{n}}$ nên tổng trên luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Bất đẳng thức đã cho được chứng minh.

Tham khảo

• G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya: Inequalities, Cambridge University Press (1952), Kapitel 10.2.