Bất đẳng thức cộng Chebyshev

Trong toán học, Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Lvovich Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}$

và

${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}$

thì

${\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}$

Tương tự, nếu

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}$

và

${\displaystyle b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots \leq b_{n},}$

thì

${\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}$

Chứng minh

Cách 1: Dùng bất đẳng thức hoán vị.

Giả sử ta có hai chuỗi số được cho như sau

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\,}$

và

${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}.\,}$

Vậy thì, theo bất đẳng thức hoán vị, ta có

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,}$

là giá trị lớn nhất có thể sắp xếp được từ hai chuỗi số trên.

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\,}$

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{2}+a_{2}b_{3}+\cdots +a_{n}b_{1}\,}$

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+\cdots +a_{n}b_{2}\,}$

${\displaystyle \vdots \,}$

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{n}+a_{2}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n-1}\,}$

Cộng vế theo vế, ta có:

${\displaystyle n(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})\geq (a_{1}+\cdots +a_{n})(b_{1}+h}$

chia cả hai vế cho ${\displaystyle n^{2}}$, ta nhận được:

${\displaystyle {\frac {(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})}{n}}\geq {\frac {(a_{1}+\cdots +a_{n})}{n}}\cdot {\frac {(b_{1}+\cdots +b_{n})}{n}}.}$

(điều phải chứng minh)

Cách 2: Phép biến đổi tương đương:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

${\displaystyle n(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n})\geq (a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n})}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \sum _{i,j}^{n}(a_{i}-a_{j})(b_{i}-b_{j})\geq 0}$ (luôn đúng do ${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\,}$và ${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}}$).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Tham khảo

• Chebyshev's sum inequality - Wikipedia tiếng Anh