Cơ học Hamilton

Một phần của chuỗi bài viết về
Cơ học cổ điển
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})}$ Định luật 2 của Newton về chuyển động
Lịch sử Dòng thời gian Sách giáo khoa
Các nhánh Ứng dụng Thiên thể Môi trường liên tục Dynamics Chuyển động học Tĩnh học Thống kê
Động học chất điểm Vị trí Độ dịch chuyển Thời gian Hệ quy chiếu Vận tốc Vận tốc trung bình Vận tốc tức thời Gia tốc Gia tốc tức thời Gia tốc trung bình Không gian
Động lực học chất điểm Lực Trọng lực Lực pháp tuyến Lực ma sát Lực đàn hồi Lực căng Lực cản Ba định luật Newton Định luật thứ nhất của Newton Định luật thứ hai của Newton Định luật thứ ba của Newton
Năng lượng và Bảo toàn năng lượng Năng lượng Công Công suất Cơ năng Động năng Thế năng Thế năng đàn hồi Thế năng hấp dẫn Đinh lí công - động năng Định luật bảo toàn năng lượng
Cơ học vật rắn Chuyển động quay của vật rắn Vị trí góc Trục quay Đường mốc Độ dời góc Vận tốc góc Vận tốc góc trung bình Vận tốc góc tức thời Gia tốc góc Gia tốc góc trung bình Gia tốc góc tức thời Động năng quay Quán tính quay Định lí trục song song Mômen quay Định luật thứ hai của Newton dưới dạng góc Công quay Vật lăn Mômen động lượng Định luật bảo toàn mômen động lượng Tiến động của con quay Cân bằng tĩnh
Hệ hạt và Tương tác hạt Khối tâm Định luật thứ hai của Newton cho hệ hạt Động lượng Định luật bảo toàn động lượng Va chạm Định lí xung lượng - động lượng Va chạm đàn hồi một chiều Va chạm không đàn hồi Va chạm hai chiều
Dao động cơ và Sóng cơ Tần số Chu kì Chuyển động điều hoà đơn giản Biên độ Pha (dao động cơ) Hằng số pha Biên độ vận tốc Biên độ gia tốc Dao động tử điều hoà tuyến tính Con lắc Con lắc xoắn Con lắc đơn Con lắc vật lí Chuyển động điều hoà tắt dần Dao động cưỡng bức Sự cộng hưởng Sóng ngang Sóng dọc Sóng sin tính Bước sóng Giao thoa sóng cơ Sóng dừng Sóng âm Cường độ âm Mức cường độ âm Phách Hiệu ứng Doppler Sóng xung kích
Các nhà khoa học Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Cổng thông tin Vật lý  Thể loại
x t s

Cơ học Hamilton là một lý thuyết phát biểu lại của cơ học cổ điển và tiên đoán cùng kết quả như của cơ học cổ điển phi-Hamilton. Lý thuyết sử dụng hình thức luận toán học khác và đem lại cách hiểu trừu tượng hơn đối với cơ học cổ điển, mà về sau đóng góp vào cách phát biểu toán học của cơ học lượng tử.

Cơ học Hamilton do William Rowan Hamilton phát biểu lần đầu tiên vào năm 1833, xuất phát từ cơ học Lagrange, một lý thuyết phát biểu lại trước đó của cơ học cổ điển do Joseph Louis Lagrange đưa ra vào năm 1788.

Tổng quan

Trong cơ học Hamilton, một hệ vật lý cổ điển được miêu tả bằng một tập hợp các tọa độ chính tắc (canonical coordinates) ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}$, mà mỗi thành phần của tọa độ ${\displaystyle q_{i},p_{i}}$ được đánh chỉ số theo hệ quy chiếu của hệ.

Tiến hóa thời gian (time evolution) của hệ được xác định duy nhất bằng phương trình Hamilton:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\\&{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {q}}}{\mathrm {d} t}}=+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\end{aligned}}}$

với ${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)}$ là hàm Hamilton hay Hamiltonian, mà tương ứng với tổng năng lượng của hệ.^[2] Đối với hệ kín, nó là tổng của động năng và thế năng trong hệ.

Trong cơ học Newton, sự thay đổi trạng thái của hệ theo thời gian (tiến hóa thời gian) nhận được bằng cách tính tổng lực đang tác dụng lên từng hạt trong hệ, và từ định luật hai Newton sẽ tính được sự thay đổi của vị trí và vận tốc. Ngược lại, trong cơ học Hamilton, sự tiến hóa theo thời gian nhận được bằng cách tính hàm Hamilton của hệ trong tọa độ suy rộng và đưa chúng vào phương trình Hamilton. Cách tiếp cận này là tương đương với cách sử dụng trong cơ học Lagrange. Thực chất, như chỉ ra bên dưới, cơ học Hamilton chính là biến đổi Legendre của cơ học Lagrange, và do đó cả hai cách tiếp cận cho ra các phương trình như nhau đối với cùng động lượng suy rộng. Động lực chính khi sử dụng cơ học Hamilton thay vì cơ học Lagrange đến từ cấu trúc symplectic của hệ Hamilton.

Ngoài những hệ đơn giản có thể được miêu tả bằng cơ học Hamilton như quả bóng căng, con lắc hay lò xo dao động trong đấy năng lượng thay đổi từ động năng sang thế năng và ngược lại theo thời gian, sức mạnh của cơ học Hamilton ở chỗ nó áp dụng cho những hệ có động lực phức tạp hơn, như quỹ đạo hành tinh trong lý thuyết nhiễu loạn của cơ học thiên thể.^[3] Hệ càng có nhiều bậc tự do thì nó tiến hóa theo thời gian càng phức tạp, thậm chí trở thành hỗn độn.

Giải thích ý nghĩa vật lý cơ bản

Một lý giải đơn giản về cơ học Hamilton đến từ ứng dụng của nó về hệ thống một chiều chứa một hạt khối lượng m. Hàm Hamilton (Hamiltonian) biểu diễn tổng năng lượng khép kín trong hệ, đó là tổng của động năng và thế năng, thông thường được ký hiệu lần lượt là T và V. Ở đây q là tọa độ và p là động lượng, mv. Khi đó

${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V,\quad T={\frac {p^{2}}{2m}},\quad V=V(q).}$

Chú ý rằng T là hàm chỉ chứa p, trong khi V chỉ chứa biến q (ví dụ, T và V là các hàm dừng (scleronomic)).

Trong ví dụ này, đạo hàm theo thời gian của động lượng p bằng lực Newton,do vậy phương trình Hamilton thứ nhất có nghĩa là lực bằng trừ gradien của thế năng. Đạo hàm theo thời gian của tọa độ q chính là vận tốc của hạt, do vậy phương trình Hamilton thứ hai có nghĩa là vận tốc của hạt bằng đạo hàm của động năng hạt theo động lượng của nó.

Tham khảo

1. Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
2. Goldstein, Herbert; Poole, Charles P., Jr.; Safko, John L. (2002), Classical Mechanics (ấn bản thứ 3), San Francisco, CA: Addison Wesley, tr. 347–349, ISBN 0-201-65702-3
3. “16.3 The Hamiltonian”, MIT OpenCourseWare website 18.013A, truy cập ngày 20 tháng 9 năm 2015

Sách tham khảo

• Arnol'd, V. I. (1989), Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96890-3
• Abraham, R.; Marsden, J.E. (1978), Foundations of Mechanics, London: Benjamin-Cummings, ISBN 0-8053-0102-X
• Arnol'd, V. I.; Kozlov, V. V.; Neĩshtadt, A. I. (1988), Mathematical aspects of classical and celestial mechanics, 3, Springer-Verlag Đã bỏ qua tham số không rõ |book-title= (trợ giúp)
• Vinogradov, A. M.; Kupershmidt, B. A. (1981), The structure of Hamiltonian mechanics, London Math. Soc. Lect. Notes Ser., 60, London: Cambridge Univ. Press, Bản gốc (DjVu) lưu trữ ngày 3 tháng 7 năm 2007, truy cập ngày 20 tháng 9 năm 2015

Liên kết ngoài

• Binney, James J., Classical Mechanics (lecture notes) (PDF), University of Oxford, truy cập ngày 27 tháng 10 năm 2010
• Tong, David, Classical Dynamics (Cambridge lecture notes), University of Cambridge, truy cập ngày 27 tháng 10 năm 2010
• Hamilton, William Rowan, On a General Method in Dynamics, Trinity College Dublin