Cực và đường thẳng đối cực

Trong lĩnh vực hình học phẳng, Cực và đối cực là các khái niệm lần lượt nói về điểm và đường thẳng có các tính chất đặc biệt trong mối quan hệ với đường conic cho trước.

Trường hợp đường conic là đường tròn tâm O bán kính R ký hiệu (O,R). Gọi A là điểm trong mặt phẳng và A' là điểm trên đường thẳng OA sao cho ${\overline {OA}}.{\overline {OA'}}=R^{2}$ khi đó điểm A', A là nghịch đảo (liên hợp) của nhau qua đường tròn (O,R). Đường thẳng qua A' và vuông góc với OA được là đường thẳng đối cực của điểm A trong mối quan hệ với đường tròn (O,R).

Khi ba điểm đôi một (nghịch đảo) liên hợp với nhau ta gọi tam giác có đỉnh là ba điểm đó là tam giác liên hợp.

Trường hợp tổng quát, cho một đường conic S và một điểm P và một đường thẳng L trong mặt phẳng chứa S, đường thẳng L được gọi là đường thẳng đối cực của điểm P và điểm P gọi là cực của đường thẳng L trong mối quan hệ với đường conic nếu có đường thẳng đi qua P cắt đường conic tại hai điểm H, G và cắt đường thẳng L tại I ta có hệ thức sau: ${\frac {\overline {IH}}{\overline {IG}}}=-{\frac {\overline {PH}}{\overline {PG}}}$

Tính chất

Cho đường đường conic S và điểm P khi đó đường thẳng đối cực của P sẽ đi qua điểm tiếp xúc của tiếp tuyến kẻ từ P đến đường conic
Đường thẳng qua P cắt đường conic tại hai điểm H, G và cắt đường thẳng đối cực của P tại I ta có hệ thức sau: ${\frac {\overline {IH}}{\overline {IG}}}=-{\frac {\overline {PH}}{\overline {PG}}}$
Tiếp tuyến của qua B cắt hai tiếp tuyến kẻ từ P tới đường conic tại điểm A, C cắt đường thẳng đối cực của P tại D khi đó ta có: ${\frac {\overline {BA}}{\overline {BC}}}=-{\frac {\overline {DA}}{\overline {DC}}}$
Ba điểm thẳng hàng khi và chỉ khi ba đường đối cực của chúng đồng quy.
Bốn điểm lập thành 1 hàng điểm điều hòa khi và chỉ các đường đối cực của chúng lập thành 1 chùm điều hòa.
Từ P có thể kẻ hai tiếp tuyến đến đường conic thì đường thẳng nối hai tiếp điểm chính là đường thẳng đối cực của điểm P trong mối quan hệ với conic đó.

Định lý La Hire

Ba đường thẳng đối cực đồng quy nếu và chỉ nếu ba điểm cực thẳng hàng.^[1]

Xem thêm

Tham khảo

^ https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/LaHire.shtml

Durell, C. V. "Poles and Polars." Ch. 9 in Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 93–97, 1928.
Casey, J. "Theory of Poles and Polars, and Reciprocation." §6.7 in A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., pp. 141–148, 1888.
Coxeter HSM, Greitzer SL (1967). Geometry Revisited. Washington: MAA. tr. 132–136, 150. ISBN 978-0-88385-619-2.
Dörrie, H. 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. New York: Dover, p. 157, 1965.
Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 100–106, 1929.
Johnson RA (1960). Advanced Euclidean Geometry: An Elementary treatise on the geometry of the Triangle and the Circle. New York: Dover Publications. tr. 100–105.
Gray J J (2007). Worlds Out of Nothing: A Course in the history of Geometry in the 19th century. London: Springer Verlag. tr. 21. ISBN 978-1-84628-632-2.
Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. tr. 43–45. LCCN 59014456. The paperback version published by Dover Publications has the ISBN 978-0-486-41147-7.
Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. tr. 190–191. ISBN 0-14-011813-6.

Liên kết ngoài

Interactive animation with multiple poles and polars at Cut-The-Knot
Interactive animation with one pole and its polar Lưu trữ ngày 1 tháng 7 năm 2012 tại Wayback Machine
Weisstein, Eric W., "Polar" từ MathWorld.
Weisstein, Eric W., "Reciprocation" từ MathWorld.
Weisstein, Eric W., "Inversion pole" từ MathWorld.
Weisstein, Eric W., "Reciprocal curve" từ MathWorld.
Tutorial Lưu trữ ngày 11 tháng 4 năm 2008 tại Wayback Machine at Math-abundance

[1] ttps://www.cut-the-knot.org/pythagoras/LaHire.shtml

[1]