I-đê-an nguyên tố

Giản đồ Hasse mô tả các i-đê-an nguyên tố của vành ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Các đỉnh màu tím là các i-đê-an nguyên tố.

Trong đại số, i-đê-an nguyên tố là tập con của vành thỏa mãn nhiều tính chất giống như là các số nguyên tố trong vành các số nguyên.

I-đê-an nguyên tố trong các vành giao hoán

Một i-đê-an ${\displaystyle I}$ của một vành giao hoán ${\displaystyle R}$ được gọi là i-đê-an nguyên tố nếu nó có hai tính chất sau:^[1][2]

• Nếu ${\displaystyle a}$ và ${\displaystyle b}$ là hai phần tử của ${\displaystyle R}$ sao cho tích ${\displaystyle ab}$ là phần tử của ${\displaystyle I}$, thì ${\displaystyle a}$ là phẩn tử của ${\displaystyle I}$ hoặc ${\displaystyle b}$ là phần tử của ${\displaystyle I}$.
• ${\displaystyle I}$ không phải là toàn bộ vành ${\displaystyle R}$

Ví dụ

• Với ${\displaystyle R=\mathbb {Z} ,}$ tập hợp các số chẵn là một i-đê-an nguyên tố, được ký hiệu là ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$.
• Trong một vành ${\displaystyle R}$, một i-đê-an tối đại là một i-đê-an ${\displaystyle M}$ tối đại theo quan hệ bao hàm trong tập hợp tất cả các i-đê-an thực sự của ${\displaystyle R}$, tức là ${\displaystyle M}$ được chứa trong chính xác hai i-đê-an của ${\displaystyle R}$: ${\displaystyle M}$ và ${\displaystyle R}$. Một i-đê-an tối đại thì là nguyên tố.^[2]
• Nếu ${\displaystyle X}$ là một đa tạp trơn, ${\displaystyle R={\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$ là vành các hàm thực trơn trên ${\displaystyle X}$ và ${\displaystyle x}$ là một điểm của ${\displaystyle X}$ thì tập hợp tất cả các hàm trơn ${\displaystyle f}$ với ${\displaystyle f(x)=0}$ tạo thành một i-đê-an tối đại, và do đó nguyên tố, của ${\displaystyle R}$.

Tính chất

• Một i-đê-an ${\displaystyle I}$ của một vành ${\displaystyle R}$ (có đơn vị) là nguyên tố khi và chỉ khi vành thương ${\displaystyle R/I}$ là một miền nguyên. Nói riêng, một vành giao hoán là một miền nguyên khi và chỉ khi ${\displaystyle (0)}$ là một i-đê-an nguyên tố.^[1]
• Tổng của hai i-đê-an nguyên tố không nhất thiết là nguyên tố. Ví dụ, vành ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ có các i-đê-an nguyên tố ${\displaystyle P=(x^{2}+y^{2}-1)}$ và ${\displaystyle Q=(x)}$. Tổng của chúng là ${\displaystyle P+Q=(x^{2}+y^{2}-1,x)=(x,y^{2}-1)}$ không phải là nguyên tốt: ${\displaystyle y^{2}-1=(y-1)(y+1)\in P+Q}$ nhưng hai thừa số của nó lại không nằm trong ${\displaystyle P+Q}$.

I-đê-an nguyên tố trong các vành không giao hoán

Các i-đê-an hai phía nguyên tố trong một vành không giao hoán có thể được định nghĩa như sau:^[3][4]: một i-đê-an (hai phía) ${\displaystyle I}$ của một vành ${\displaystyle R}$ (không nhất thiết giao hoán) được gọi là một i-đê-an nguyên tố nếu ${\displaystyle I\neq R}$ và với mọi i-đê-an (hai phía) ${\displaystyle {\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\subset R}$, ta có: ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\cdot {\mathfrak {B}}\subset I\implies {\mathfrak {A}}\subset I{\text{ hoặc }}{\mathfrak {B}}\subset I}$.

Tham khảo

1. ^ Kaplansky (1970), tr. 1
2. ^ Lang (2002), tr. 92
3. Lam (2001), tr. 165
4. Lưu ý rằng Lam sử dụng quy ước "ideal" có nghĩa là "two-sided ideal". Xem Lam (2001), tr. 3 (trong khi một số tác giả sử dụng quy ước "ideal" có nghĩa là "left ideal").

Thư mục

• Goodearl, K. R., Warfield, R. B., 2004, An Introduction to noncommutative Noetherian rings
• Kaplansky, Irving, 1970, Commutative rings
• Lam, T. Y., 2001, A first course in non commutative rings
• Lang, Serge, 2002, Algebra

Liên kết ngoài

• Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Prime ideal”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4