Bài này không có nguồn tham khảo nào. Mời bạn giúp cải thiện bài bằng cách bổ sung các nguồn tham khảo đáng tin cậy. Các nội dung không có nguồn có thể bị nghi ngờ và xóa bỏ. Nếu bài được dịch từ Wikipedia ngôn ngữ khác thì bạn có thể chép nguồn tham khảo bên đó sang đây.(tháng 6/2021)
dưới phép toán phép nhân ma trận. Các phần tử a, b và c có thể được lấy từ bất kỳ vành giao hoán nào có phần tử đơn vị, thường là vành số thực (tạo ra "nhóm Heisenberg liên tục") hoặc vành các số nguyên (tạo ra "nhóm Heisenberg rời rạc").
Nếu a, b, c, là các số nguyên (trong vành Z) thì ta gọi nhóm đó là nhóm Heisenberg rời rạc H3(Z). Nó là nhóm lũy linh không giao hoán. Nó có hai phần tử sinh sau,
và quan hệ
,
Với
là phần tử sinh tâm của H3. (Lưu ý rằng các nghịch đảo của x, y và z thay thế 1 ở trên đường chéo chính bằng −1.)
Nhóm Heisenberg modulo một số nguyên tố lẻ p[sửa | sửa mã nguồn]
Nếu ta lấy a, b, c trong Z/pZ với p là số nguyên tốlẻ, thì ta gọi nhóm đó là nhóm Heisenberg modulop. Nó là nhóm có cấpp3 với các phần tử sinh x, y và thỏa mãn quan hệ sau:
Nhóm Heisenberg modulo 2 có cấp 8 đẳng cấu với nhóm nhị diện D4 (các đối xứng của một hình vuông). Quan sát rằng nếu
.
Thì
và
Các phần tử x và y tương ứng với phản xạ (với 45° giữa chúng), trong khi xy và yx tương ứng với các phép quay 90 °. Các phản xạ khác là xyx và yxy, và quay 180° là xyxy(=yxyx).
Đại số Lie của nhóm Heisenberg (trên các số thực) được gọi là đại số Heisenberg.[1]
Nó được biểu diễn bằng không gian của ma trận vuông kích thước 3×3 dưới dạng[2]
với .
Ba phần tử sau lập thành cơ sở cho ,
Ba phần tử cơ sở này thỏa mãn quan hệ giao hoán,
.
Tên "nhóm Heisenberg" được lấy cảm hứng từ các quan hệ đó có cùng dạng với các quan hệ giao hoán chính tắc trong cơ học lượng tử.
trong đó là toán tử vị trí, là toán tử quán tính, và là hằng số Planck.
Nhóm Heisenberg H có tính chất đặc biệt khác là ánh xạ mũ là song ánh từ đại số Lie sang nhóm H,[3]
Trong lý thuyết trường bảo giác, thuật ngữ đại số Heisenberg được dùng để chỉnh dạng tổng quát vô hạn chiều của đại số. Nó được span bởi các phần tử , cùng các quan hệ giao hoán
Khi bị thay đổi tỷ lệ, thì nó trờ thành số bản sao vô hạn và đếm được của đại số trên.
Các nhóm Heisenberg tổng quát có thể định nghĩa cho số chiều cao hơn trong không gian Euclide, và tổng quát hơn trong không gian vectơ symplectic. Thường hợp tổng quát đơn giản nhất là nhóm Heisenberg thực có số chiều , với bất kỳ . Bởi là nhóm của các ma trận, (hoặc được dùng để chỉ đây là nhóm các ma trận trên trường của các số thực ) và được định nghĩa là nhóm các ma trận kích thước có các phần tử thuộc và ma trận nằm dưới dạng sau:
Ánh xạ mũ của bất kỳ đại số Lie lũy linh là vi đồng phôi giữa đại số Lie và nhóm Lie đơn liên liên đới duy nhất đơn liên.
Các ý trên (bên cạnh các mệnh đề về số chiều và nhóm Lie) vẫn áp dụng được khi ta thay R bằng bất kỳ vành giao hoán A. Nhóm tương ứng được ký hiệu là Hn(A ).
Dưới giả định thêm số nguyên tố 2 khả nghịch trong vành A, ánh xạ mũ cũng định được được bởi nó rút gọn thành tổng hữu hạn và có dạng như trên (ví dụ chẳng hạn. A có thể là vành Z/pZ với p là số nguyên tố lẻ hoặc bất kỳ trường đặc số không).
Lý thuyết biểu diễn của nhóm Heisenberg lúc đầu vẫn còn đơn giản sau – sau được tổng quát hóa bởi lý thuyết Mackey và được giới thiệu trong vật lý lượng tử.
Cho bất kỳ số thực khác không , ta có thể định nghĩa biểu diễn unita bất khả quy của tác động trên không gian Hilbert bằng công thức:[4]
Phép biểu diễn này còn được gọi là biểu diễn Schrödinger. Động cơ thúc đẩy của phép biểu diễn này là tác động của các toán tử vị trí và toán tử quán tính được mũ lên trong cơ học lượng tử. Tham số mô tả các phép tịnh tiến trong không gian vị trí, tham số mô tả các phép tịnh tiến trong không gian quán tính, còn tham số thì cho hệ số pha. Hệ số pha được dùng để thu về nhóm các toán tử, bởi phép tịnh tiếp trong không gian vị trí và không gian quán tính không giao hoán với nhau.
Kết quả quan trọng thu về được là định lý Stone–von Neumann, định lý phát biểu rằng mọi biểu diễn unita bất khả quy (liên tục mạnh) của nhóm Heisenberg có tâm tác động không tầm thường thì tương đương với cho một số .[5] Hoặc là, chúng đều tương đương với đại số Weyl (hoặc đại số CCR) trên không gian symplectic số chiều 2n.
Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, 267, Springer, ISBN978-1461471158
Hall, Brian C. (2015). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. Graduate Texts in Mathematics. 222 . Springer. ISBN978-3319134666.
Kirillov, Alexandre A. (2004). “Ch. 2: "Representations and Orbits of the Heisenberg Group”. Lectures on the Orbit Method. American Mathematical Society. ISBN0-8218-3530-0.
Mình chưa từng thấy 1 nơi nào mà nó đẹp tới như vậy,thiên nhiên bao la hùng vĩ với những quả núi xếp lên nhau. Đi cả đoạn đường chỉ có thốt lên là sao có thể đẹp như vậy
Bên cạnh tia UV, bác sĩ Kenneth Howe tại New York cảnh báo rằng ánh sáng xanh từ các thiết bị điện tử như điện thoại, máy tính, TV cũng góp phần gây lão hóa da
Cho đến hiện tại Kenjaku đang từng bước hoàn thiện dần dần kế hoạch của mình. Cùng nhìn lại kế hoạch mà hắn đã lên mưu kế thực hiện trong suốt cả thiên niên kỉ qua nhé.