Nhóm lũy linh

Nhóm lũy linh cùng với nhóm giải được là các cấu trúc cơ bản của đại số trừu tượng.

Định nghĩa

Chuỗi tâm trên

Tồn tại một nhóm ${\displaystyle G}$ là lũy linh nếu nó có các chuỗi tâm trên ổn định sau khi hữu hạn toàn bộ nhóm (tức là tồn tại một số tự nhiên ${\displaystyle c}$ sao cho ${\displaystyle Z_{c}(G)=G}$. Sau đây chúng ta định nghĩa ${\displaystyle Z_{i}(G)}$ bằng phương pháp quy nạp:

Tâm ${\displaystyle Z_{i}(G)}$ là tạo ảnh của tâm ${\displaystyle Z(G/Z_{i-1}(G))}$ dưới các ánh xạ thương từ ${\displaystyle G}$ đến ${\displaystyle G/Z_{i-1}(G)}$ và ${\displaystyle Z_{0}(G)}$ là nhóm con chuẩn tắc của ${\displaystyle G}$.

Chuỗi tâm dưới

${\displaystyle G}$ là lũy linh nếu tồn tại một số tự nhiên ${\displaystyle c}$ sao cho ${\displaystyle [[[..[G,G],G],G],...G]}$ là chuẩn tắc với ${\displaystyle G}$ được nhắc lại ${\displaystyle c+1}$ lần. ${\displaystyle [,]}$ là giao hoán tử của các tập con của ${\displaystyle G}$.

Chuỗi tâm

${\displaystyle G}$ là lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên ${\displaystyle c}$ và một dãy con hữu hạn:

${\displaystyle G=H_{1}\geq H_{2}\geq ...\geq H_{c+1}=\left\{e\right\}}$ và mỗi ${\displaystyle H_{i}}$ là nhóm con chuẩn tắc của ${\displaystyle G}$ và ${\displaystyle H_{i}/H_{i+1}}$ là tâm của ${\displaystyle G/H_{i+1}}$.

Nhóm con chéo bình thường của tích Descartes của nhóm (tạm dịch)

Tập ${\displaystyle \left\{(g,g):g\in G\right\}}$ là nhóm con của tích Descartes ${\displaystyle G\times G}$ với mọi ${\displaystyle c\in \mathbb {N} }$.

Tích giao hoán tử chuẩn-trái chuẩn tắc (tạm dịch)

Tồn tại độ dài subnormal (không dịch được) ${\displaystyle c\in \mathbb {N} }$ sao cho ${\displaystyle [[...[[x_{1},x_{2}],x_{3}],...],x_{c+1}]}$ nhận giá trị của phần tử đơn vị với mọi ${\displaystyle x_{i}\in G}$.

Tích giao hoán tử chuẩn-"bất kỳ hướng" chuẩn tắc (tạm dịch)

Tồn tại số ${\displaystyle c}$ như trên sao cho mọi tích giao hoán tử bao gồm ${\displaystyle c}$ tích giao hoán tử.

Trong trường hợp ${\displaystyle c=3}$, biểu thức

${\displaystyle [[x_{1},x_{2}],[x_{3},x_{4}]],[[[x_{1},x_{2}],x_{3}],x_{4}]],[x_{1},[x_{2},[x_{3},x_{4}]]]}$,

${\displaystyle [[x_{1},[x_{2},x_{3}]],x_{4}],[x_{1},[[x_{2},x_{3}],x_{4}]}$ đều nhận giá trị của phần tử đơn vị.

Tích giao hoán tử chuẩn-trái chuẩn tắc tổng quát

Giống tích giao hoán tử chuẩn-trái chuẩn tắc nhưng tổng quát hơn.

Ví dụ

• Nhóm chuẩn tắc là lũy linh trên lớp lũy linh cấp ${\displaystyle 0}$.
• Mọi nhóm Abel là lũy linh trên lớp lũy linh cấp ${\displaystyle 1}$.
• Nhóm D8 là lũy linh nhưng không Abel.
• Nhóm quaternion lũy linh nhưng không Abel.

Tính chất

• Giả tốt.
• Nếu ${\displaystyle G}$ lũy linh, nhóm con ${\displaystyle H}$ cũng lũy linh.
• Nếu ${\displaystyle G}$ lũy linh và có nhóm con bình thường ${\displaystyle H}$ thì nhóm thương ${\displaystyle G/H}$ cũng lũy linh.
• Nếu ${\displaystyle G_{i},i=1,2,...,n}$ lũy linh, tích Descartes ${\displaystyle \Pi _{i=1}^{n}G_{i}}$ cũng lũy linh.
• Nếu ${\displaystyle G}$ lũy linh và tồn tại các nhóm con bình thường ${\displaystyle N_{1},N_{2},...,N_{n}}$ thì tích trong của chúng cũng lũy linh.
• Nếu ${\displaystyle G_{1},G_{2}}$ là nhóm isoclinic và ${\displaystyle G_{1}}$ lũy linh, nhóm ${\displaystyle G_{2}}$ cũng lũy linh.

Tham khảo

• Homology in group theory, by Urs Stammbach, Lecture Notes in Mathematics, Volume 359, Springer-Verlag, New York, 1973, vii+183 pp. review
• Suprunenko, D. A. (1976). Matrix Groups. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1341-2.
• Hungerford, Thomas Gordon (1974). Algebra. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90518-9.
• Palmer, Theodore W. (1994). Banach algebras and the general theory of *-algebras. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36638-0.
• Friedrich Von Haeseler (2002). Automatic Sequences (De Gruyter Expositions in Mathematics, 36). Berlin: Walter de Gruyter. ISBN 3-11-015629-6.
• Isaacs, I. Martin (2008). Finite group theory. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4344-3.
• Zassenhaus, Hans (1999). The theory of groups. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-40922-8.
• Bechtell, Homer (1971). The theory of groups. Addison-Wesley.
• Tabachnikova, Olga; Smith, Geoff (2000). Topics in Group Theory (Springer Undergraduate Mathematics Series). Berlin: Springer. ISBN 1-85233-235-2.