Tổng của ba số lập phương

Vấn đề mở trong toán học: Liệu có số nào không đồng dư với 4 hoặc 5 khi chia 9 mà không thể viết thành tổng của ba số lập phương? (các vấn đề mở khác trong toán học)

Đồ thị nửa lôgarit của các nghiệm của phương trình ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$ cho số nguyên ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, và ${\displaystyle z}$, với ${\displaystyle 0\leq n\leq 100}$. Dải màu xanh lá cây đánh dấu các giá trị ${\displaystyle n}$ được chứng minh không có nghiệm.

Trong toán học cho tổng các lũy thừa, bài toán tổng của ba số lập phương là bài toán mở yêu cầu tìm hiểu xem liệu một số nguyên tùy ý có thể viết thành tổng của ba lũy thừa bậc ba của số nguyên, cho phép số âm và số dương cho các số hạng trong tổng. Điều kiện tối thiểu để ${\displaystyle n}$ có thể viết thành tổng là ${\displaystyle n}$ phải không được đồng dư với 4 hoặc 5 modulo 9, bởi số lập phương chia 9 thì chỉ dư 0, 1, và −1, và không có tổng nào của ba số lập phương có thể đồng dư với 4 hoặc 5 modulo 9.^[1] Hiện vẫn chưa biết điều kiện này đủ hay không.

Các dạng khác của bài toán này bao gồm bài toán của các số lập phương không âm và tổng của số lập phương hữu tỉ. Mọi số nguyên đều có thể biết diễn thành tổng của các số lập phương hữu tỉ, nhưng hiện vẫn chưa biết được liệu tổng của các số lập phương không âm có lập thành tập với mật độ tự nhiên khác không.

Trường hợp số bé

Một biểu diễn không tầm thường của 0 là tổng của ba số lập phương sẽ thành phản chứng cho định lý lớn Fermat cho bậc 3, bởi một trong ba số lập phương sẽ có dấu ngược lại với dấu của hai số còn lại, và đối của nó sẽ bằng tổng của hai số đó. Bởi vậy, bằng bài chứng minh của Leonhard Euler cho trường hợp bậc ba của định lý lớn Fermat,^[2] chỉ có duy nhất một nghiệm

${\displaystyle a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.}$

Đối với biểu diễn cho 1 và 2, có vô số họ các nghiệm

${\displaystyle (9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1}$ (phát hiện ^[3] bởi K. Mahler trong 1936)

và

${\displaystyle (1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2}$ (phát hiện ^[4] bởi A.S. Verebrusov trong 1908, ghi lại bởi L.J. Mordell^[5]).

Các nghiệm có thể được nhân lên để biểu diễn cho các số là số lập phương hoặc gấp hai lần số lập phương nào đó.^[5] Đối với 1, tồn tại các biểu diễn khác cũng như họ các biểu diễn đã được tham số hóa.^[6] Đối với 2, các biểu diễn khác được biết bao gồm^[6][7]

${\displaystyle 1\ 214\ 928^{3}+3\ 480\ 205^{3}+(-3\ 528\ 875)^{3}=2,}$

${\displaystyle 37\ 404\ 275\ 617^{3}+(-25\ 282\ 289\ 375)^{3}+(-33\ 071\ 554\ 596)^{3}=2,}$

${\displaystyle 3\ 737\ 830\ 626\ 090^{3}+1\ 490\ 220\ 318\ 001^{3}+(-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^{3}=2.}$

Tuy nhiên, 1 và 2 là hai số duy nhất mà có thể biểu diễn bằng đa thức bậc 4 như trên.^[5] Thậm chí trong trường hợp biểu diễn cho 3, trong 1953, Louis J. Mordell đã viết "I do not know anything more than its small solutions" (dịch: ngoài những nghiệm nhỏ này ra, tôi không biết còn biểu diễn nào khác không).

${\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3,}$

ngoại trừ việc ba số đó phải đồng dư với nhau modulo 9.^[8][9]

Tương tự với bộ ba số Pythagoras, ta có ví dụ của trường hợp đặc biệt cho tổng của ba số lập phương liên tiếp

${\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}}$

Các kết quả tính toán

Kể từ 1955, và bắt đầu từ các nghiên cứu của Mordell, nhiều tác giả đã thực hiện việc tìm kiếm bằng máy tính để tìm ra nghiệm của phương trình.^{[10][11][7][12][13][14][15][16][17][18]} Elsenhans & Jahnel (2009) sử dụng phương pháp của Noam Elkies (2000) bao gồm rút gọn lưới để tìm tất cả các nghiệm cho phương trình Diophantos

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$

với ${\displaystyle n}$ nguyên dương không lớn hơn 1000 và ${\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{14}}$,^[17] để lại các số 33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, và 975 làm bài toán mở trong 2009 cho ${\displaystyle n\leq 1000}$, và 192, 375, và 600 là các số mà vẫn chưa biết được nghiệm nguyên thủy (tức là các nghiệm ${\displaystyle x,y,z}$ sao cho ${\displaystyle \gcd(x,y,z)=1}$). Sau khi Timothy Browning đề cập đến bài toán trên kênh Numberphile trong 2016, Huisman (2016) mở rộng tìm kiếm này cho ${\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{15}}$ , tìm ra nghiệm của số 74 như sau:

${\displaystyle 74=(-284\ 650\ 292\ 555\ 885)^{3}+66\ 229\ 832\ 190\ 556^{3}+283\ 450\ 105\ 697\ 727^{3}.}$

Qua cuộc tìm kiếm trên, các nhà toán học phát hiện ra rằng hầu hết các số ${\displaystyle n<100}$ không đồng dư với 4 hoặc 5 modulo 9 đều có nghiệm, chỉ ngoại trừ ra hai ngoại lệ là 33 và 42.^[18]

Tuy nhiên, trong 2019, Andrew Booker đã giải được trường hợp ${\displaystyle n=33}$ nhờ phát hiện ra:

${\displaystyle 33=8\ 866\ 128\ 975\ 287\ 528^{3}+(-8\ 778\ 405\ 442\ 862\ 239)^{3}+(-2\ 736\ 111\ 468\ 807\ 040)^{3}.}$

Để có thể tính ra các nghiệm, Booker sử dụng hướng tìm kiếm khác với thời gian tỷ lệ với ${\displaystyle \min(|x|,|y|,|z|)}$ thay vì phải lớn nhất trong ba số,^[19] hướng làm này được gợi ý bởi Heath-Brown et al.^[20] Anh ấy cũng tìm ra rằng

${\displaystyle 795=(-14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^{3}+14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571^{3}+2\ 337\ 348\ 783\ 323\ 923^{3},}$

và không có nghiệm nào cho ${\displaystyle n=42}$ hay bất cứ giá trị ${\displaystyle n\leq 1000}$ mà ${\displaystyle |z|\leq 10^{16}}$.

Trong khoảng thời gian rất ngắn sau đó, trong tháng chín năm 2019, Booker và Andrew Sutherland cuối cùng cũng giải được trường hợp ${\displaystyle n=42}$, sử dụng 1.3 triệu giờ tính toán trên điện lưới phân toán toàn cầu Charity Engine để tìm ra nghiệm sau

${\displaystyle 42=(-80\ 538\ 738\ 812\ 075\ 974)^{3}+80\ 435\ 758\ 145\ 817\ 515^{3}+12\ 602\ 123\ 297\ 335\ 631^{3},}$

cũng như nghiệm của một số giá trị khác như ${\displaystyle n=165}$ và ${\displaystyle 579}$ cho ${\displaystyle n\leq 1000}$.^[21]

Booker và Sutherland cũng đồng thời tìm thêm biểu diễn thứ ba của số 3 bằng việc sử dụng thêm 4 triệu giớ tính toán trên Charity Engine:

${\displaystyle 3=569\ 936\ 821\ 221\ 962\ 380\ 720^{3}+(-569\ 936\ 821\ 113\ 563\ 493\ 509)^{3}+(-472\ 715\ 493\ 453\ 327\ 032)^{3}.}$^[21][22]

Kết quả này cuối cùng cũng trả lời câu hỏi 65 tuổi của Louis J. Mordell.^[8]

Trong khi đưa biểu diễn thứ ba của số 3 khi có mặt trong video trên kênh Youtube Numberphile, Booker còn đưa thêm biểu diễn cho số 906:

${\displaystyle 906=(-74\ 924\ 259\ 395\ 610\ 397)^{3}+72\ 054\ 821\ 089\ 679\ 353\ 378^{3}+35\ 961\ 979\ 615\ 356\ 503^{3}.}$^[23]

Các trường hợp còn lại chưa được giải cho n nhỏ hơn 1,000 là 7 số sau: 114, 390, 627, 633, 732, 921, và 975, và không có nghiệm nguyên thủy nào (tức ${\displaystyle \gcd(x,y,z)=1}$) cho 192, 375, và 600.^[21][24]

Nghiệm nguyên thủy cho n từ 1 đến 78
n	x	y	z		n	x	y	z
1	9	10	−12		39	117367	134476	−159380
2	1214928	3480205	−3528875		42	12602123297335631	80435758145817515	−80538738812075974
3	1	1	1		43	2	2	3
6	−1	−1	2		44	−5	−7	8
7	0	−1	2		45	2	−3	4
8	9	15	−16		46	−2	3	3
9	0	1	2		47	6	7	−8
10	1	1	2		48	−23	−26	31
11	−2	−2	3		51	602	659	−796
12	7	10	−11		52	23961292454	60702901317	−61922712865
15	−1	2	2		53	−1	3	3
16	−511	−1609	1626		54	−7	−11	12
17	1	2	2		55	1	3	3
18	−1	−2	3		56	−11	−21	22
19	0	−2	3		57	1	−2	4
20	1	−2	3		60	−1	−4	5
21	−11	−14	16		61	0	−4	5
24	−2901096694	−15550555555	15584139827		62	2	3	3
25	−1	−1	3		63	0	−1	4
26	0	−1	3		64	−3	−5	6
27	−4	−5	6		65	0	1	4
28	0	1	3		66	1	1	4
29	1	1	3		69	2	−4	5
30	−283059965	−2218888517	2220422932		70	11	20	−21
33	−2736111468807040	−8778405442862239	8866128975287528		71	−1	2	4
34	−1	2	3		72	7	9	−10
35	0	2	3		73	1	2	4
36	1	2	3		74	66229832190556	283450105697727	−284650292555885
37	0	−3	4		75	4381159	435203083	−435203231
38	1	−3	4		78	26	53	−55

Nổi tiếng gần đây

Bài toán tổng của ba số lập phương trong những năm gần đây được nổi lên là do Brady Haran, chủ kênh YouTube Numberphile, bắt nguồn từ video năm 2015 "The Uncracked Problem with 33" (dịch: Bài toán chưa phá được với số 33) trong đó có phỏng vấn với Timothy Browning.^[25] Sau 6 tháng sau ra video mới "Số 74 đã được phá" cùng Browning, thảo luận về phát hiện của Huisman năm 2016 cho nghiệm của 74.^[26] Trong 2019, Numberphile xuất bản 3 video có nội dung liên hệ nhau, "42 is the new 33" (42 là số 33 mới), "The mystery of 42 is solved" (Bí ẩn của số 42 đã được giải), và "3 as the sum of 3 cubes" (khi 3 viết là tổng của 3 số lập phương), để chúc mừng cho phát hiện thành công các nghiệm cho 33, 42, và nghiệm mới cho 3.^[27][28][23]

Lời giải của Booker cho số 33 xuất hiện trong các tạp chí Quanta Magazine^[29] và New Scientist^[30], cũng như là trong Newsweek trong đó sự hợp tác của Booker với Sutherland được phát biểu: "...nhà toán học hiện đang làm việc cùng với Andrew Sutherland của MIT trong nỗ lực để tìm ra nghiệm của số cuối cùng nằm dưới một trăm: 42".^[31] Ngoài ra , số 42 nổi thêm là bởi sự xuất hiện của số trong tiểu thuyết khoa viễn tưởng viết vào năm 1979 của Douglas Adams với tiêu đề The Hitchhiker's Guide to the Galaxy là câu trả lời cho The Ultimate Question of Life, the Universe, and Everything.

Thông báo tìm ra nghiệm cho số 42 của Booker và Sutherland^[32][33] nhận được sự chú ý từ truyền thông toàn cầu, xuất hiện trong các tạp chí New Scientist,^[34] Scientific American,^[35] Popular Mechanics,^[36] The Register,^[37] Die Zeit,^[38] Der Tagesspiegel,^[39] Helsingin Sanomat,^[40] Der Spiegel,^[41] New Zealand Herald,^[42] Indian Express,^[43] Der Standard,^[44] Las Provincias,^[45] Nettavisen,^[46] Digi24,^[47] và BBC World Service.^[48] Popular Mechanics đặt nghiệm cho số 42 là một trong "10 Phát minh quan trọng của toán học trong 2019".^[49]

Lời giải cho câu hỏi của Mordell bởi Booker và Sutherland một vài tuần sau nhận thêm một lượt chú ý khác.^{[22][50][51][52][53][54][55]}

Trong hội thảo thuật toán lý thuyết số thứ 14, Booker có nói về một số lý do ông giải bài toán này cũng như là về phản ứng cộng đồng khi nghe thấy thông báo cho lời giải của số 33 và số 42.^[56]

Tính giải được và quyết định được

Trong 1992, Roger Heath-Brown phỏng đoán rằng mọi số ${\displaystyle n}$ không đồng dư với 4 hoặc 5 modulo 9 có vô số biểu diễn là tổng của ba số lập phương.^[57] Trường hợp ${\displaystyle n=33}$ của bài toán này được dùng bởi Bjorn Poonen để làm ví dụ mở đầu cho các bài toán không quyết định được trong lý thuyết số, trong đó bài toán thứ 10 của Hilbert là ví dụ nổi bật nhất^[58] Mặc dù trường hợp đặc biệt này đã được giải, hiện vẫn chưa biết được liệu bài toán biểu diễn một số là tổng ba số lập phương có quyết định được không. Nghĩa là, hiện vẫn chưa biết được liệu có tồn tại thuật toán mà với mọi đầu vào, có thể kiểm tra trong khoảng thời gian hữu hạn rằng số đó có thể biểu diễn thành tổng ba số lập phương. Nếu giả thuyết của Heath-Brown đúng, bài toán quyết định được. Trong trường hợp này, thuật toán sẽ tính giá trị của ${\displaystyle n}$ modulo 9, trả về sai khi giá trị đó bằng 4 hoặc 5, còn không thì trả về đúng. Nghiên cứu của Heath-Brown cũng bao gồm các phỏng đoán chính xác hơn về việc làm thế nào để thuật toán có thể tìm ra một biểu diễn hơn là quyết định xem liệu nó có tồn tại hay không.^[57]

Các dạng khác

Một dạng khác của bài toán này có liên quan tới bài toán Waring hỏi về biểu diễn tổng của ba số lập phương không âm. Trong thế kỷ 19, Carl Gustav Jacob Jacobi và những người cộng tác cùng đã lập ra bảng nghiệm cho bài toán này.^[59] Hiện đang có giả thuyết tập các số biểu diễn được mật độ tự nhiên dương.^[60][61] Hiện điều này vẫn chưa biết được, nhưng Trevor Wooley đã chứng minh rằng ${\displaystyle \Omega (n^{0.917})}$ của các số từ ${\displaystyle 1}$ đến ${\displaystyle n}$ có biểu diễn như vậy.^[62][63][64] Mật độ có giá trị tối đa bằng ${\displaystyle \Gamma (4/3)^{3}/6\approx 0.119}$.^[1]

Mọi số nguyên có thể viết thành tổng của ba số lập phương hữu tỷ.^[65][66]

Xem thêm

• Bài toán tổng của bốn số lập phương thảo luận về liệu một số nguyên có thể viết thành tổng của bốn số lập phương

Tham khảo

1. ^ Davenport, H. (1939), “On Waring's problem for cubes”, Acta Mathematica, 71: 123–143, doi:10.1007/BF02547752, MR 0000026
2. Machis, Yu. Yu. (2007), “On Euler's hypothetical proof”, Mathematical Notes, 82 (3): 352–356, doi:10.1134/S0001434607090088, MR 2364600, S2CID 121798358
3. Mahler, Kurt (1936), “Note on Hypothesis K of Hardy and Littlewood”, Journal of the London Mathematical Society, 11 (2): 136–138, doi:10.1112/jlms/s1-11.2.136, MR 1574761
4. Verebrusov, A. S. (1908), “Объ уравненiи x³ + y³ + z³ = 2u³” [On the equation ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=2u^{3}}$], Matematicheskii Sbornik (bằng tiếng Russian), 26 (4): 622–624, JFM 39.0259.02
5. ^ Mordell, L.J. (1942), “On sums of three cubes”, Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 17 (3): 139–144, doi:10.1112/jlms/s1-17.3.139, MR 0007761
6. ^ Avagyan, Armen; Dallakyan, Gurgen (2018), “A new method in the problem of three cubes”, Universal Journal of Computational Mathematics, 5 (3): 45–56, arXiv:1802.06776, doi:10.13189/ujcmj.2017.050301, S2CID 36818799
7. ^ Heath-Brown, D. R.; Lioen, W. M.; te Riele, H. J. J. (1993), “On solving the Diophantine equation ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=k}$ on a vector computer”, Mathematics of Computation, 61 (203): 235–244, Bibcode:1993MaCom..61..235H, doi:10.2307/2152950, JSTOR 2152950, MR 1202610
8. ^ Mordell, L.J. (1953), “On the integer solutions of the equation ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=n}$”, Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 28: 500–510, doi:10.1112/jlms/s1-28.4.500, MR 0056619
9. The equality mod 9 of numbers whose cubes sum to 3 was credited to J. W. S. Cassels by Mordell (1953), but its proof was not published until Cassels, J. W. S. (1985), “A note on the Diophantine equation ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=3}$”, Mathematics of Computation, 44 (169): 265–266, doi:10.2307/2007811, JSTOR 2007811, MR 0771049, S2CID 121727002.
10. Miller, J. C. P.; Woollett, M. F. C. (1955), “Solutions of the Diophantine equation ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=k}$”, Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 30: 101–110, doi:10.1112/jlms/s1-30.1.101, MR 0067916
11. Gardiner, V. L.; Lazarus, R. B.; Stein, P. R. (1964), “Solutions of the diophantine equation ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}-d}$”, Mathematics of Computation, 18 (87): 408–413, doi:10.2307/2003763, JSTOR 2003763, MR 0175843
12. Conn, W.; Vaserstein, L. N. (1994), “On sums of three integral cubes”, The Rademacher legacy to mathematics (University Park, PA, 1992), Contemporary Mathematics, 166, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, tr. 285–294, doi:10.1090/conm/166/01628, MR 1284068
13. Bremner, Andrew (1995), “On sums of three cubes”, Number theory (Halifax, NS, 1994), CMS Conference Proceedings, 15, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, tr. 87–91, MR 1353923
14. Koyama, Kenji; Tsuruoka, Yukio; Sekigawa, Hiroshi (1997), “On searching for solutions of the Diophantine equation ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$”, Mathematics of Computation, 66 (218): 841–851, doi:10.1090/S0025-5718-97-00830-2, MR 1401942
15. Elkies, Noam D. (2000), “Rational points near curves and small nonzero ${\displaystyle |x^{3}-y^{2}|}$ via lattice reduction”, Algorithmic number theory (Leiden, 2000), Lecture Notes in Computer Science, 1838, Springer, Berlin, tr. 33–63, arXiv:math/0005139, doi:10.1007/10722028_2, MR 1850598, S2CID 40620586
16. Beck, Michael; Pine, Eric; Tarrant, Wayne; Yarbrough Jensen, Kim (2007), “New integer representations as the sum of three cubes”, Mathematics of Computation, 76 (259): 1683–1690, doi:10.1090/S0025-5718-07-01947-3, MR 2299795
17. ^ Elsenhans, Andreas-Stephan; Jahnel, Jörg (2009), “New sums of three cubes”, Mathematics of Computation, 78 (266): 1227–1230, doi:10.1090/S0025-5718-08-02168-6, MR 2476583
18. ^ Huisman, Sander G. (2016), Newer sums of three cubes, arXiv:1604.07746
19. Booker, Andrew R. (2019), “Cracking the problem with 33”, Research in Number Theory, 5 (26), doi:10.1007/s40993-019-0162-1, MR 3983550
20. Heath-Brown, D. R.; Lioen, W.M.; te Riele, H.J.J (1993), “On solving the Diophantine equation ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=k}$ on a vector computer”, Mathematics of Computation, 61 (203): 235–244, Bibcode:1993MaCom..61..235H, doi:10.2307/2152950, JSTOR 2152950, MR 1202610
21. ^ Booker, Andrew R.; Sutherland, Andrew V. (2020), On a question of Mordell, arXiv:2007.01209
22. ^ Lu, Donna (ngày 18 tháng 9 năm 2019), “Mathematicians find a completely new way to write the number 3”, New Scientist
23. ^ Haran, Brady (ngày 24 tháng 9 năm 2019), 3 as the sum of 3 cubes, Numberphile
24. Houston, Robin (ngày 6 tháng 9 năm 2019), “42 is the answer to the question 'what is (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³?'”, The Aperiodical
25. Haran, Brady (ngày 6 tháng 11 năm 2015), The uncracked problem with 33, Numberphile
26. Haran, Brady (ngày 31 tháng 5 năm 2016), 74 is cracked, Numberphile
27. Haran, Brady (ngày 12 tháng 3 năm 2019), 42 is the new 33, Numberphile
28. Haran, Brady (ngày 6 tháng 9 năm 2019), The mystery of 42 is solved, Numberphile
29. Pavlus, John (ngày 10 tháng 3 năm 2019), “Sum-of-Three-Cubes Problem Solved for 'Stubborn' Number 33”, Quanta Magazine
30. Lu, Donna (ngày 14 tháng 3 năm 2019), “Mathematician cracks centuries-old problem about the number 33”, New Scientist
31. Georgiou, Aristos (ngày 3 tháng 4 năm 2019), “The uncracked problem with 33: Mathematician solves 64-year-old 'Diophantine puzzle'”, Newsweek
32. Sum of three cubes for 42 finally solved – using real life planetary computer, University of Bristol, ngày 6 tháng 9 năm 2019
33. Miller, Sandi (ngày 10 tháng 9 năm 2019), “The answer to life, the universe, and everything: Mathematics researcher Drew Sutherland helps solve decades-old sum-of-three-cubes puzzle, with help from "The Hitchhiker's Guide to the Galaxy."”, MIT News, Massachusetts Institute of Technology
34. Lu, Donna (ngày 6 tháng 9 năm 2019), “Mathematicians crack elusive puzzle involving the number 42”, New Scientist
35. Delahaye, Jean-Paul (ngày 20 tháng 9 năm 2020), “For Math Fans: A Hitchhiker's Guide to the Number 42”, Scientific American
36. Grossman, David (ngày 6 tháng 9 năm 2019), “After 65 Years, Supercomputers Finally Solve This Unsolvable Math Problem”, Popular Mechanics
37. Quach, Katyanna (ngày 7 tháng 9 năm 2019), “Finally! A solution to 42 – the Answer to the Ultimate Question of Life, The Universe, and Everything”, The Register
38. “Matheproblem um die Zahl 42 geknackt”, Die Zeit, ngày 16 tháng 9 năm 2019
39. “Das Matheproblem um die Zahl 42 ist geknackt”, Der Tagesspiegel, ngày 16 tháng 9 năm 2019
40. Kivimäki, Antti (ngày 18 tháng 9 năm 2019), “Matemaatikkojen vaikea laskelma tuotti vihdoin kaivatun luvun 42”, Helsingin Sanomat
41. “Matheproblem um die 42 geknackt”, Der Spiegel, ngày 16 tháng 9 năm 2019
42. “Why the number 42 is the answer to life, the universe and everything”, New Zealand Herald, ngày 9 tháng 9 năm 2019
43. Firaque, Kabir (ngày 20 tháng 9 năm 2019), “Explained: How a 65-year-old maths problem was solved”, Indian Express
44. Taschwer, Klaus (ngày 15 tháng 9 năm 2019), “Endlich: Das Rätsel um die Zahl 42 ist gelöst”, Der Standard
45. “Matemáticos resuelven el enigma del número 42 planteado hace 65 años”, Las Provincias, ngày 18 tháng 9 năm 2019
46. Wærstad, Lars (ngày 10 tháng 10 năm 2019), “Supermaskin har løst over 60 år gammel tallgåte”, Nettavisen
47. “A fost rezolvată problema care le-a dat bătăi de cap matematicienilor timp de 6 decenii. A fost nevoie de 1 milion de ore de procesare”, Digi24, ngày 16 tháng 9 năm 2019
48. Paul, Fernanda (ngày 12 tháng 9 năm 2019), “Enigma de la suma de 3 cubos: matemáticos encuentran la solución final después de 65 años”, BBC News Mundo
49. Linkletter, Dave (ngày 27 tháng 12 năm 2019), “The 10 Biggest Math Breakthroughs of 2019”, Popular Mechanics
50. Mandelbaum, Ryan F. (ngày 18 tháng 9 năm 2019), “Mathematicians No Longer Stumped by the Number 3”, Gizmodo
51. “42:n ongelman ratkaisijat löysivät ratkaisun myös 3:lle”, Tiede, ngày 23 tháng 9 năm 2019
52. Kivimäki, Antti (ngày 22 tháng 9 năm 2019), “Numeron 42 ratkaisseet matemaatikot yllättivät: Löysivät myös luvulle 3 kauan odotetun ratkaisun”, Helsingin Sanomat
53. Jesus Poblacion, Alfonso (ngày 3 tháng 10 năm 2019), “Matemáticos encuentran una nueva forma de llegar al número 3”, El Diario Vasco
54. Honner, Patrick (ngày 5 tháng 11 năm 2019), “Why the Sum of Three Cubes Is a Hard Math Problem”, Quanta Magazine
55. D'Souza, Dilip (ngày 28 tháng 11 năm 2019), “Waste not, there's a third way to make cubes”, LiveMint
56. Booker, Andrew R. (ngày 4 tháng 7 năm 2020), 33 and all that, Algorithmic Number Theory Symposium
57. ^ Heath-Brown, D. R. (1992), “The density of zeros of forms for which weak approximation fails”, Mathematics of Computation, 59 (200): 613–623, doi:10.1090/s0025-5718-1992-1146835-5, JSTOR 2153078, MR 1146835
58. Poonen, Bjorn (2008), “Undecidability in number theory” (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 55 (3): 344–350, MR 2382821
59. Dickson, Leonard Eugene (1920), History of the Theory of Numbers, Vol. II: Diophantine Analysis, Carnegie Institution of Washington, tr. 717
60. Balog, Antal; Brüdern, Jörg (1995), “Sums of three cubes in three linked three-progressions”, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1995 (466): 45–85, doi:10.1515/crll.1995.466.45, MR 1353314, S2CID 118818354
61. Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard (2006), “On the density of sums of three cubes”, trong Hess, Florian; Pauli, Sebastian; Pohst, Michael (biên tập), Algorithmic Number Theory: 7th International Symposium, ANTS-VII, Berlin, Germany, July 23-28, 2006, Proceedings, Lecture Notes in Computer Science, 4076, Berlin: Springer, tr. 141–155, doi:10.1007/11792086_11, MR 2282921
62. Wooley, Trevor D. (1995), “Breaking classical convexity in Waring's problem: sums of cubes and quasi-diagonal behaviour” (PDF), Inventiones Mathematicae, 122 (3): 421–451, doi:10.1007/BF01231451, hdl:2027.42/46588, MR 1359599
63. Wooley, Trevor D. (2000), “Sums of three cubes”, Mathematika, 47 (1–2): 53–61 (2002), doi:10.1112/S0025579300015710, hdl:2027.42/152941, MR 1924487
64. Wooley, Trevor D. (2015), “Sums of three cubes, II”, Acta Arithmetica, 170 (1): 73–100, doi:10.4064/aa170-1-6, MR 3373831, S2CID 119155786
65. Richmond, H. W. (1923), “On analogues of Waring's problem for rational numbers”, Proceedings of the London Mathematical Society, Second Series, 21: 401–409, doi:10.1112/plms/s2-21.1.401, MR 1575369
66. Davenport, H.; Landau, E. (1969), “On the representation of positive integers as sums of three cubes of positive rational numbers”, Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau), New York: Plenum, tr. 49–53, MR 0262198

Liên kết ngoài

• Solutions of n = x³ + y³ + z³ for 0 ≤ n ≤ 99, Hisanori Mishima
• threecubes, Daniel J. Bernstein
• Sums of three cubes, Mathpages