Trong toán học và vật lý , toán tử Laplace hay Laplacian , ký hiệu là
Δ
{\displaystyle \Delta \,}
hoặc
∇
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
được đặt tên theo Pierre-Simon de Laplace , là một toán tử vi phân , đặc biệt trong các toán tử elliptic , với nhiều áp dụng. Trong vật lý, nó được sử dụng trong mô tả của quá trình truyền sóng , quá trình truyền nhiệt và tạo nên phương trình Helmholtz . Nó cũng có vai trò quan trọng trong tĩnh điện và cơ học chất lưu , thành phần chính trong phương trình Laplace và phương trình Poisson . Trong cơ học lượng tử , nó đại diện cho động năng trong phương trình Schrödinger . Trong toán học, hàm số nào mà bằng không dưới toán tử Laplace được gọi là hàm điều hòa ; toán tử Laplace ở trung tâm của lý thuyết Hodge và trong các kết quả của de Rham cohomology .
Toán tử Laplace là toán tử vi phân bậc 2 trong không gian Euclid n -chiều, định nghĩa như là div (
∇
⋅
{\displaystyle \nabla \cdot }
) của gradient (
∇
f
{\displaystyle \nabla f}
). Do đó nếu f là một hàm số thực có đạo hàm bậc 2, thì Laplacian của f được định nghĩa bởi
Δ
f
=
∇
2
f
=
∇
⋅
∇
f
,
{\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f,}
(1)
Nói một cách tương đương, Laplacian của f là tổng của các đạo hàm riêng bậc 2 thuần túy trong tọa độ Descartes
x
i
{\displaystyle x_{i}}
:
Δ
f
=
∑
i
=
1
n
∂
2
f
∂
x
i
2
.
{\displaystyle \Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}.}
(2)
Toán tử Laplace trong không gian hai chiều được viết như là
Δ
f
=
∂
2
f
∂
x
2
+
∂
2
f
∂
y
2
{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}
với x và y là tọa độ Descartes trong mặt phẳng xy .
Trong tọa độ cực ,
Δ
f
=
1
r
∂
∂
r
(
r
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
∂
2
f
∂
θ
2
.
{\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}.}
Trong không gian 3 chiều, người ta thường viết toán tử Laplace sử dụng nhiều hệ tọa độ khác nhau.
Trong tọa độ Descartes ,
Δ
f
=
∂
2
f
∂
x
2
+
∂
2
f
∂
y
2
+
∂
2
f
∂
z
2
.
{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}
Trong tọa độ trụ ,
Δ
f
=
1
ρ
∂
∂
ρ
(
ρ
∂
f
∂
ρ
)
+
1
ρ
2
∂
2
f
∂
θ
2
+
∂
2
f
∂
z
2
.
{\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}
Trong tọa độ cầu :
Δ
f
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
f
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
f
∂
ϕ
2
.
{\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}.}
(
θ
{\displaystyle \theta \ }
là góc đo từ cực Bắc và
ϕ
{\displaystyle \phi }
là kinh độ ).Biểu thức
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
f
∂
r
)
{\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)}
có thể được thay bằng biểu diễn tương đương
1
r
∂
2
∂
r
2
(
r
f
)
{\displaystyle {1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)}
.
Trongtọa độ cầu trong
N
{\displaystyle N}
chiều , với cách đặt tham số
x
=
r
θ
∈
R
N
{\displaystyle x=r\theta \in {\mathbb {R} }^{N}}
với
r
∈
[
0
,
+
∞
)
{\displaystyle r\in [0,+\infty )}
và
θ
∈
S
N
−
1
{\displaystyle \theta \in S^{N-1}}
,
Δ
f
=
∂
2
f
∂
r
2
+
N
−
1
r
∂
f
∂
r
+
1
r
2
Δ
S
N
−
1
f
{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f}
mà
Δ
S
N
−
1
{\displaystyle \Delta _{S^{N-1}}}
là toán tử Laplace–Beltrami trên mặt cầu trong không gian
N
−
1
{\displaystyle N-1}
(còn gọi là Laplacian cầu). Người ta cũng có thể viết
∂
2
f
∂
r
2
+
N
−
1
r
∂
f
∂
r
{\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial r^{2}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}}
một cách tương đương như là
1
r
N
−
1
∂
∂
r
(
r
N
−
1
∂
f
∂
r
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}{\Bigr )}.}
Nếu f và g là hai hàm số, thì Laplacian của tích fg sẽ là
Δ
(
f
g
)
=
(
Δ
f
)
g
+
2
(
(
∇
f
)
⋅
(
∇
g
)
)
+
f
(
Δ
g
)
.
{\displaystyle \Delta (fg)=(\Delta f)g+2((\nabla f)\cdot (\nabla g))+f(\Delta g).}
Trong trường hợp đặc biệt khi f là một hàm phụ thuộc vào bán kính
f
(
r
)
{\displaystyle f(r)}
và g là một hàm cầu điều hòa ,
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )}
. Ta thường gặp
trường hợp đặc biệt này trong nhiều mô hình vật lý. Gradient của
f
(
r
)
{\displaystyle f(r)}
là một vectơ theo hướng bán kính và gradient của một hàm chỉ phụ thuộc vào góc là tiếp tuyến với véctơ bán kính, do đó
2
(
∇
f
(
r
)
)
⋅
(
∇
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
)
=
0.
{\displaystyle 2(\nabla f(r))\cdot (\nabla Y_{lm}(\theta ,\phi ))=0.}
Thêm nữa, hàm cầu điều hòa có tính chất đặc biệt là eigenfunction của toán tử Laplacian trong tọa độ cầu.
Δ
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
=
−
ℓ
(
ℓ
+
1
)
r
2
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
.
{\displaystyle \Delta Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi ).}
Do đó,
Δ
(
f
(
r
)
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
)
=
(
d
2
f
(
r
)
d
r
2
+
2
r
d
f
(
r
)
d
r
−
ℓ
(
ℓ
+
1
)
r
2
f
(
r
)
)
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
.
{\displaystyle \Delta (f(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ))=\left({\frac {d^{2}f(r)}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {df(r)}{dr}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}f(r)\right)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ).}
Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M (1970). “Chapter 12: Electrostatic Analogs”. The Feynman Lectures on Physics . 2 . Addison-Wesley-Longman. Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết )
Gilbarg, D and Trudinger, N (2001). Elliptic partial differential equations of second order . Springer. ISBN 978-3540411604 . Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết )
Schey, H. M. (1996). Div, grad, curl, and all that . W W Norton & Company. ISBN 978-0393969979 .